Окрестность: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
CheChe (обсуждение | вклад) м Updated image to svg format |
·1e0nid· (обсуждение | вклад) м →Общая топология: оформление |
||
Строка 22: | Строка 22: | ||
=== Общая топология === |
=== Общая топология === |
||
Пусть задано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>, где <math>X</math> — произвольное [[множество]], а <math>\mathcal{T}</math> — определённая на <math>X</math> [[топология]]. |
|||
* Множество <math>V \subset X</math> называется окрестностью точки <math>x\in X</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U\in \mathcal{T}</math> такое, что <math>x \in U \subset V</math>. |
|||
* Аналогично окрестностью множества <math>M \subset X</math> называется такое множество <math>V \subset X</math>, что существует открытое множество <math>U\in \mathcal{T}</math>, для которого выполнено <math>M \subset U \subset V</math>. |
* Аналогично окрестностью множества <math>M \subset X</math> называется такое множество <math>V \subset X</math>, что существует открытое множество <math>U\in \mathcal{T}</math>, для которого выполнено <math>M \subset U \subset V</math>. |
Версия от 12:55, 17 мая 2017
Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.
Определения
Математический анализ
Пусть произвольное фиксированное число.
Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .
В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .
В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .
Общая топология
Пусть задано топологическое пространство , где — произвольное множество, а — определённая на топология.
- Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
- Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .
Замечания
- Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[1] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
- Окрестностью множества точек называется такое множество , что есть окрестность любой точки .
Пример
Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а — замкнутой окрестностью точки .
Вариации и обобщения
Проколотая окрестность
Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.
Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.
Формальное определение: Множество называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки , если
где — окрестность .
См. также
Примечания
- ↑ Рудин, 1975, с. 13.
Литература
- Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- У.Рудин. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.