Теорема вращения Эйлера: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Danneks (обсуждение | вклад) стилевые правки |
|||
Строка 12: | Строка 12: | ||
== Геометрия группы вращений == |
== Геометрия группы вращений == |
||
Представление Эйлера позволяет исследовать топологию [[группа вращений|группы вращений]] SO(3) |
Представление Эйлера позволяет исследовать топологию [[группа вращений|группы вращений]] трёхмерного пространства (группы [[SO(3)]]). Для этого рассмотрим [[Шар (стереометрия)|шар]] с центром в начале координат с радиусом π. |
||
Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы. |
Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы. |
||
Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы [[гомеоморфизм|гомеоморфен]] группе SO(3) |
Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы [[гомеоморфизм|гомеоморфен]] группе SO(3). |
||
== См. также == |
== См. также == |
Версия от 11:30, 17 сентября 2018
Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси. Таким образом, вращение может быть описано тремя координатами: двумя координатами оси вращения (например, широта и долгота) и углом поворота.
Для заданного угла и единичного вектора обозначим вращение в направлении вектора n против часовой стрелки на угол . Тогда:
- — тождественное отображение для любого
Для любого вращения существует единственный угол , для которого , при этом:
- определяется однозначно, если ;
- любое, ;
- определяется однозначно с точностью до знака, если (то есть, вращения одинаковы).
Геометрия группы вращений
Представление Эйлера позволяет исследовать топологию группы вращений трёхмерного пространства (группы SO(3)). Для этого рассмотрим шар с центром в начале координат с радиусом π.
Любое вращение на угол, меньший π, задаёт единственную точку внутри шара (направление задаёт направление оси вращения, а угол задаёт расстояние от начала координат). Вращение на угол π соответствует двум противоположным точкам на поверхности сферы.
Таким образом, шар с отождествлёнными противоположными точками сферы гомеоморфен группе SO(3).
См. также
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|