Теорема Кэли (теория групп)

Теорема Кэли — теоретико-групповое утверждение об изоморфности всякой конечной группы $(G_{n},\circ )$ порядка $n$ некоторой подгруппе группы перестановок $S_{n}$. При таком соответствии каждый элемент $a\in G$ сопоставляется с перестановкой $\pi _{a}$, задаваемой тождеством $\pi _{a}(g)=a\circ g$, где $g$ — произвольный элемент группы $G$.

Например, для группы $G=\mathbb {Z} _{4}$ с заданной операцией $+$ можно определить отображение $\varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}$:

$\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}$

$\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}$

$\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}$

$\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}$

В данном построении перестановка $\varphi (n)$ для каждого $n$ задаёт «таблицу сложения» с числом $n$, например, число 2 в $\varphi (1)$ переходит на сумму (операцию группы $G=\mathbb {Z} _{4}$) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы, для которого определяется перестановка). Таким образом, $\varphi (0)$ задаёт тождественное отображение $\mathrm {id} _{G}(g)=g$, и отображение $\varphi$ является гомоморфизмом.

Теоретико-категорное обобщение — лемма Йонеды (в её рамках группа может быть рассмотрена как категория из одного объекта).

Доказательство

Пусть $G$ - наша группа, $n=|G|$. Можно считать, что $S_{n}$ - группа всех биективных отображений множества $G$ на себя, так как природа элементов, переставляемых элементами из $S_{n}$, несущественна.

Для любого элемента $a\in G$ рассмотрим отображение $L_{a}:G\rightarrow G$, определённое формулой $L_{a}(g)=ag$.

Если $e=g_{1}$$,g_{2},...,g_{n}$ - все элементы группы $G$, то $a,ag_{2},...,ag_{n}$ будут теми же элементами, но расположенными в каком-то другом порядке. $ag_{i}=ag_{j}\Rightarrow a^{-1}(ag_{i})=a^{-1}(ag_{j})\Rightarrow (a^{-1}a)g_{i}=(a^{-1}a)g_{j}\Rightarrow g_{i}=g_{j}$

Значит, $L_{a}$ - биективное отображение (перестановка), обратным к которому будет $L_{a}^{-1}=L_{{a}^{-1}}$. Единичным отображением является, естественно $L_{e}$.

Используя вновь ассоциативность умножения в $G$, получаем $L_{ab}(g)=(ab)g=a(bg)=L_{a}(L_{b}g)$, т.е. $L_{ab}=L_{a}L_{b}$

Итак, множество $L_{e},L_{g_{2}},...,L_{g_{n}}$ образуют подгруппу, скажем, $H$, в группе $S(G)$ всех биективных отображений множества $G$ на себя, т.е. в $S_{n}$. Мы имеем включение $H\subset S_{n}$ и имеем соответствие $L:a\mapsto L_{a}\in H$, обладающее по сказанному выше всеми свойствами изоморфизма.

Литература

• Александров П. С. . Введение в теорию групп. — М.: Наука, 1980. — (Библиотечка «Квант», вып. 7).
• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.