Теорема Лагранжа (теория групп)

Теорема Лагра́нжа в теории групп гласит, что порядок конечной группы $G$ равен порядку любой подгруппы $H\subseteq G$, умноженному на её индекс, то есть что верно равенство $|G|=|H|\cdot [G:H]$.

Доказательство

Далее будем считать классы смежности левыми.

Разбиение на смежные классы есть отношение эквивалентности. Действительно, если $gH\cap g'H\neq \emptyset$ для $g\neq g'\in G$, то существуют $h,h'\in H$, что $gh=g'h'$. Так как мы в группе, то можем домножить на обратный к $h$, получив $g=g'h'h^{-1}$, откуда $gH=(g'h'h^{-1})H\subset g'H$. Повторив процедуру в другую сторону, получим, что $g'H\subset gH$. То есть $gH=g'H$.

При этом $|gH|=|H|$, то есть в каждом классе смежности равное количество элементов, а группа $G$ распадается на $[G:H]$ таких.

Следствия

1. Количество правых и левых смежных классов любой подгруппы $H$ в $G$ одинаково и называется индексом подгруппы $H$ в $G$ (обозначается $[G:H]$).
2. Порядок любой подгруппы конечной группы $G$ делит порядок $G$.
3. Из того, что порядок элемента группы равен порядку циклической подгруппы, образованной этим элементом, следует, что порядок любого элемента конечной группы $G$ делит порядок $G$. Это следствие обобщает теорему Эйлера и малую теорему Ферма в теории чисел.
4. Группа порядка $p$, где $p$ — простое число, циклична. (Поскольку порядок элемента, отличного от единицы, не может быть равен 1, все элементы, кроме единицы, имеют порядок $p$, и значит, каждый из них порождает группу.)

История

Важный частный случай этой теоремы был доказан Лагранжем в 1771 году в связи с исследованиями разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Это было задолго до определения группы, Лагранж исследовал группу подстановок. Современная формулировка включает первоначальную формулировку теоремы Лагранжа как пример.

См. также

• Теоремы Силова