Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Теоре́ма Лебе́га о мажори́руемой сходи́мости в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это теорема, утверждающая, что если сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Формулировка

Пусть фиксировано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$. Предположим, что $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ и $f$ — измеримые функции на $X$, причём $f_{n}(x)\to f(x)$ почти всюду. Тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая функция $g$, такая что $\forall n\in \mathbb {N} \quad |f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ почти всюду, то функции $f_{n},\;f$ интегрируемы и

$\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx).$

Замечание

Условие мажорированности последовательности $\{f_{n}\}$ интегрируемой функцией $g$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример. Пусть $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)$, где ${\mathcal {B}}$ — борелевская $\sigma$-алгебра на $[0,\;1]$, а $m$ — мера Лебега на том же пространстве. Определим

$f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}$

Тогда последовательность $\{f_{n}\}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и

$\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).$

Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\Omega$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: $X_{n}\to X$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $Y$, такая что $\forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ почти наверное. Тогда случайные величины $X_{n},\;X$ интегрируемы и

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}=\mathbb {E} X.$

Вариации и обобщения

• Теорема Фату — Лебега