Теорема Нэша о регулярных вложениях
Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально, всякое -мерное риманово многообразие класса , , допускает изометрическое вложение в для достаточно большого .
Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку , которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для [1].
В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем. Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером.[2] Его метод был слегка упрощён в нескольких заметках Дэна Янга[3] Теренсa Тао[4] и Ральфа Хоурда[5]
Вариации и обобщения[править | править код]
- Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для -гладких вложений.
- Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без использования теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
- Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.[6].
- Справедлив аналогичный результат для аналитических вложений, установлен также Нэшем, но существенно позднее[7].
- Теорема Позняка утверждает, что любой диск на плоскости с римановой метрикой допускает изометрическое погружение в 4-мерное евклидово пространство.[8]
- Вопрос о существовании локального гладкого изометрического вложения в 3-мерное евклидово пространство остаётся открытым.
Примечания[править | править код]
- ↑ см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
- ↑ Matthias Günther, On the perturbation problem associated to isometric embeddings of Riemannian manifolds, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69—77.
- ↑ Yang, Deane. "Gunther's proof of Nash's isometric embedding theorem". arXiv:math/9807169.
{{cite arXiv}}: Шаблон цитирования имеет пустые неизвестные параметры:|version=and|accessdate=(справка) - ↑ Terence Tao Notes on the Nash embedding theorem Архивная копия от 23 ноября 2022 на Wayback Machine
- ↑ Ralph Howard Notes on Günther’s Method and the Local Version of the Nash Isometric Embedding Theorem Архивная копия от 6 октября 2022 на Wayback Machine
- ↑ Д. Ю. Бураго, С. В. Иванов. Изометрические вложения финслеровых многообразий // Алгебра и анализ. — 1993. — Т. 5, № 1. — С. 179—192.
- ↑ Дж. Нэш. Аналитичность решений задач о неявной функции с аналитическими исходными данными // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 217—226.
- ↑ Э. Г. Позняк. Изометрические погружения двумерных римановых метрик в евклидовы пространства // УМН. — 1973. — Т. 28, № 4(172). — С. 47–76.
Литература[править | править код]
- Дж. Нэш. Проблема вложений для римановых многообразий // УМН. — 1971. — Т. 26, № 4(160). — С. 173—216.