Теорема Пойнтинга (англ. Poynting's theorem) — теорема, описывающая закон сохранения энергии электромагнитного поля. Теорема была доказана в 1884 году Джоном Генри Пойнтингом. Всё сводится к следующей формуле:
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/615a41970e2ce9b9c75b20ad32f45e843a650df9)
где
— плотность энергии:
;
— электрическая постоянная,
— магнитная постоянная;
— оператор набла; S — вектор Пойнтинга;
- J — плотность тока и E — напряженность электрического поля.
Теорема Пойнтинга в интегральной форме:
,
где
— поверхность, ограничивающая объём
.
В технической литературе теорема обычно записывается так (
— плотности энергии):
,
где
— плотность энергии электрического поля,
— плотность энергии магнитного поля и
— мощность джоулевых потерь в единице объёма.
Теорема может быть выведена с помощью двух уравнений Максвелла (для простоты считаем, что среда - вакуум (μ=1, ε=1); для общего случая с произвольной средой, нужно в формулы к каждому ε0 и μ0 приписать ε и μ):
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40993cef0ca062a8e9fba6df165dc2c4444ab79)
Домножив обе части уравнения на
, получим:
![{\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4ddb6bcd8069189b44d606a76888da85af9aa8)
Рассмотрим сначала уравнение Максвелла-Ампера:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a198da0b6c0cfeea87a7a2090dfdfc27366a02b)
Домножив обе части уравнения на
, получим:
![{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu _{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649d848bfa069b397d43e88bc794d55d24f14abd)
Вычитая первое из второго, получим:
![{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a475589c7a4a8239037ca84d830ad6d80c9c68d)
Наконец:
![{\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a988701dd7427f7d60ee6a16324b501cb2b4892d)
Поскольку вектор Пойнтинга
определяется как:
![{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac6532f39a4f6fbc482514fcf7b2b2a54f0f888)
это равносильно:
![{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c28ede4a024e23cdf2ab8c1436c4815131434e)
Механическая энергия описанной выше теоремы
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3dce6a39a2349fb41d07bcf189b3096c9f1797)
где u_m — кинетическая энергия плотности в системе. Она может быть описана как сумма кинетической энергии частиц α
![{\displaystyle u_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b93f4f64a2368ea9a5f642e969c79a40edd93d)
— поток энергии, или «механический вектор Пойнтинга»:
![{\displaystyle \mathbf {S} _{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum _{\alpha }{\frac {m_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{\alpha }(t)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfcd14bf6a03cd544fddfb6f517c88384af5a14)
Уравнение непрерывности энергии или закон сохранения энергии
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} _{e}+\mathbf {S} _{m}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273bac9a2986ef8a89db537f9479921a9f4bb16e)
Можно получить и другие формы теоремы Пойнтинга. Вместо того чтобы использовать вектор потока
можно выбрать форму Авраама
, форму Минковского
, или какую-либо другую.