Теорема Риба о сфере

Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии $M^{n}$ существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда $M^{n}$ гомеоморфно сфере $S^{n}$, и слоение имеет ровно две особые точки.

Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.

Морсовское слоение

Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.

Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.

Обозначим ind p = min(k, n − k), индекс особенности $p$, где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.

Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C² с изолированными особенностями, причем:

• все особенности F морсовского типа,
• каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то $L\setminus p$ несвязно.

Пусть c — число центров морсовского слоения F, и $s$ — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия $M$.

Теорема Риба о сфере

Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.

Теорема: Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии $M^{n}$ размерности $n\geq 2$ существует $C^{1}$-трансверсально ориентированное слоение $F$ коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение $F$ имеет ровно две особые точки, и многообразие $M^{n}$ гомеоморфно сфере $S^{n}$.

Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.

Вариации и обобщения

Более общим является случай $c>s\geq 0.$

В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, $c\leq s+2$. Таким образом, есть ровно два случая, когда $c>s$:

(1) $c=s+2,$

(2) $c=s+1.$

Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).

Теорема: Пусть на компактном связном многообразии $M^{n}$, существует морсовское слоение $F$ с $c$ центрами и $s$ седлами. Тогда $c\leq s+2$. Если $c=s+2$, то

• $M^{n}$ гомеоморфно сфере $S^{n}$,

• все седла имеют индекс 1,

• каждый неособый слой диффеоморфен сфере $S^{n-1}$.

Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), $c=s+1$. Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.

Теорема: Пусть $M^{n}$ компактное связное многообразие и $F$ — морсовское слоение на $M^{n}$. Если $s=c+1$, то

• $n=2,4,8$ или $16$,

• $M^{n}$ является многообразием Илса — Кёйпера.