Уравнением пятой степени называют уравнение вида:
Корни уравнения пятой степени
связаны с коэффициентами
следующим образом:
![{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3fcc205cefe930ca724112bfff0b32b1cb17c1)
![{\displaystyle x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5}+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa2a18233a7fc52f0a3a68a67ab41ae40ae7b13)
![{\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3940bbaf75302708bb1b0c7c6e56bdd703082a96)
![{\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c39174b3e7370966888df701695fc2b5911dc5)
![{\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c72ffa80150ed30a9161928198b4359f77b73b7)
Точной формулы решения уравнения пятой степени в радикалах не существует. Если
, то уравнение имеет вид:
, где
выносим за скобки (см. Сводное уравнение)
, где один из корней равен нулю.
В скобках уравнение четвертой степени.
Если
, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле
.
Если
, уравнение в скобках имеет вид
, где выносим за скобки:
, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.
Решите уравнение
.
Решение. Выносим
за скобки:
.
Раскладываем
на множители:
.
Уравнение имеет пять корней:
,
,
,
,
.