Электрический поток

Электри́ческий пото́к ― поток вектора напряжённости электрического поля ($\mathbf {E}$) или электрической индукции ($\mathbf {D}$) через некоторую поверхность $S$. Вычисляется как интеграл по этой поверхности:

$\Phi =\int _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}\quad$ или $\quad \Psi =\int _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}$.

На практике используются обе величины. В зависимости от того, какая подразумевается в конкретном контексте, размерностью электрического потока являются вольт на метр (В$\cdot$м, для $\Phi$) или кулон (Кл, для $\Psi$). Во избежание путаницы, к обозначению потока может добавляться поясняющий символ: $\Phi _{E}$, $\Psi _{D}$.

Одна из наиболее значимых формул, в которых фигурирует электрический поток ($\Psi _{D}$), ― электростатическое уравнение Максвелла (в интегральной форме).

Общий случай

В общем случае электрический поток рассчитывается как поверхностный интеграл, в котором подынтегральное выражение представляет собой элементарный поток (например $d\Phi _{E}$), то есть скалярное произведение вектора ${\vec {E}}$ в данной точке на малый векторный элемент площадки:

$d\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S}$.

Элемент $d\mathbf {S}$ записывается как произведение площади $dS$ данной площадки на единичный вектор нормали к ней $d\mathbf {S} =dS\,\mathbf {n}$, так что выражение для элементарного потока приобретает вид

${\mathit {d}}\Phi _{E}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=E\,dS\,\cos \theta$,

где через $\theta$ обозначен угол между векторами ${\vec {E}}$ и ${\vec {n}}$. Далее проводится численное интегрирование — фактически суммирование по таким элементарным участкам площади:

$\Phi _{E}=\int _{S}{\mathit {d}}\Phi _{E}$.

При вычислении $d\Psi _{D}$ выполняются аналогичные действия, только с вектором ${\vec {D}}$. В общем случае не существует простой связи ни между $d\Psi _{D}$ и $d\Phi _{E}$, ни между $\Psi _{D}$ и $\Phi _{E}$.

Случай однородного поля

Если электрическое поле однородно вблизи поверхности $S$, оно при интегрировании выносится за знак интеграла и электрический поток определяется по формуле

$\Phi _{E}=E\cdot \int _{S}\cos \theta \,dS$,

а если ещё поверхность плоская, то по формуле

$\Phi _{E}=E\,S\,\cos \theta$.

Если однородно поле ${\vec {D}}$, подобное упрощение возможно для $\Psi _{D}$. При этом однородность ${\vec {E}}$ не всегда означает однородность ${\vec {D}}$ и наоборот.

Случай слабых полей

В ситуации со слабыми электрическими полями, отсутствием анизотропии и дисперсии, векторы электрической индукции и напряжённости электрического поля связаны формулой:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \,\mathbf {E}$,

где $\varepsilon _{0}$ ― диэлектрическая постоянная, а $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость среды, вообще говоря, зависящая от координат.

В таком случае для элементарных потоков $d\Psi _{D}$ и $d\Phi _{E}$ имеется простое соотношение:

$d\Psi _{D}=\varepsilon _{0}\varepsilon \,d\Phi _{E}$.

Если, кроме того, диэлектрик однороден ($\varepsilon =\,$const), то полные потоки оказываются также связаны константой:

$\Psi _{D}=\varepsilon _{0}\varepsilon \,\Phi _{E}$.

Для вакуума ($\varepsilon =1$) выписанные здесь соотношения верны при любых по величине полях.

Теорема Гаусса и поток

Согласно теореме Гаусса, электрический поток через замкнутую поверхность $S$ равен сумме всех находящихся внутри этой поверхности зарядов. Выражение теоремы может быть записано для потока как ${\vec {E}}$, так и ${\vec {D}}$:

$\Phi _{\mathbf {E} }=\oint _{S}\mathbf {E} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\varepsilon _{0}^{-1}Q_{tot}$,

$\Psi _{\mathbf {D} }=\oint _{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =Q$,

но смысл понятия «все заряды» различен. В случае ${\vec {E}}$ имеются в виду вообще все заряды ($Q_{tot}$) — свободные и связанные (возникающие при поляризации диэлектрика), а в случае ${\vec {D}}$ — только свободные ($Q$).

Теорема Гаусса для электрической индукции стала одним из уравнений Максвелла, в нём обычно заменяют заряд его записью через плотность заряда (свободного):

$\oint _{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\rho \,dV$,

где в правой части предполагается интегрирование по объёму, заключённому внутри поверхности $S$.

См. также

• Магнитный поток

Литература

• Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм. Изд.3-е., М: Высшая школа, 1968.-412с.

Примечания

↑  1. Поля считаются слабыми, если смещение связанных зарядов, а следовательно, вызванная ими поляризация, линейно зависят от данного поля.