Теорема Гаусса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Классическая электродинамика
VFPt Solenoid correct2.svg
Электричество · Магнетизм
См. также: Портал:Физика

Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один из основных законов электродинамики, входит в систему уравнений Максвелла. Выражает связь (а именно равенство с точностью до постоянного коэффициента) между потоком напряжённости электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в объёме, ограниченном этой поверхностью. Применяется отдельно для вычисления электростатических полей.

Аналогичная теорема, также входящая в число уравнений Максвелла, существует и для магнитного поля (см. ниже).

Также теорема Гаусса верна для любых полей, для которых верен закон Кулона или его аналог (например, для ньютоновской гравитации). При этом она является, как принято считать, более фундаментальной, так как позволяет в частности вывести степень расстояния[1] в законе Кулона «из первых принципов», а не постулировать ее (или не находить эмпирически).

В этом можно видеть фундаментальное значение теоремы Гаусса (закона Гаусса) в теоретической физике.

Существуют аналоги (обобщения) теоремы Гаусса и для более сложных полевых теорий, чем электродинамика.

Содержание

Теорема Гаусса для напряжённости электрического поля в вакууме[править | править исходный текст]

Общая формулировка: Поток вектора напряжённости электрического поля через любую произвольно выбранную замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности электрическому заряду.

СГС СИ
\Phi_\mathbf{E}=4\pi Q,
\Phi_\mathbf{E}=\frac{Q}{\varepsilon_0},

где

  • \Phi_\mathbf{E}\equiv\oint\limits_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} — поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность S.
  • Q — полный заряд, содержащийся в объёме, который ограничивает поверхность S.
  • \varepsilon_0 — электрическая постоянная.

Данное выражение представляет собой теорему Гаусса в интегральной форме.

  • Замечание: поток вектора напряжённости через поверхность не зависит от распределения заряда (расположения зарядов) внутри поверхности.


В дифференциальной форме теорема Гаусса выражается следующим образом:

СГС СИ
\mathrm{div}\,\mathbf{E}\equiv\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi\rho,
\mathrm{div}\,\mathbf{E}\equiv\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.

Здесь \rho — объёмная плотность заряда (в случае присутствия среды — суммарная плотность свободных и связанных зарядов), а \nabla — оператор набла.

  • Теорема Гаусса может быть доказана как теорема в электростатике исходя из закона Кулона (см. ниже). Формула однако также верна в электродинамике, хотя в ней она чаще всего не выступает в качестве доказываемой теоремы, а выступает в качестве постулируемого уравнения (в этом смысле и контексте ее логичнее называть законом Гаусса[2].

Теорема Гаусса для электрической индукции (электрического смещения)[править | править исходный текст]

Для поля в диэлектрической среде электростатическая теорема Гаусса может быть записана еще и иначе (альтернативным образом) — через поток вектора электрического смещения (электрической индукции). При этом формулировка теоремы выглядит следующим образом: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность пропорционален заключённому внутри этой поверхности свободному электрическому заряду:

СГС СИ
\Phi_\mathbf{D}\equiv\oint\limits_S\mathbf{D}\,\mathrm{d}\mathbf{S}=4\pi Q,
\Phi_\mathbf{D}\equiv\oint\limits_S\mathbf{D}\,\mathrm{d}\mathbf{S}=Q,

В дифференциальной форме:

СГС СИ
\mathrm{div}\,\mathbf{D}\equiv\nabla\cdot\mathbf{D}=4\pi\rho,
\mathrm{div}\,\mathbf{D}\equiv\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho.

Теорема Гаусса для магнитной индукции[править | править исходный текст]

Поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

\Phi_\mathbf{B}\equiv\oint\limits_S\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0,

или в дифференциальной форме

\nabla\cdot\mathbf{B}=0.

Это эквивалентно тому, что в природе не существует «магнитных зарядов» (монополей), которые создавали бы магнитное поле, как электрические заряды создают электрическое поле[5]. Иными словами, теорема Гаусса для магнитной индукции показывает, что магнитное поле является (полностью) вихревым.

Теорема Гаусса для ньютоновской гравитации[править | править исходный текст]

Для напряжённости поля ньютоновской гравитации (ускорения свободного падения) теорема Гаусса практически совпадает с таковой в электростатике, за исключением только констант (впрочем, всё равно зависящих от произвольного выбора системы единиц) и, главное, знака[6]:

\Phi_\mathbf{g}
\equiv
\oint\limits_S\mathbf{g}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}
=-4\pi G M,
\nabla\cdot\mathbf{g}=-4\pi G \rho,

где g — напряжённость гравитационного поля, M — гравитационный заряд (то есть масса) внутри поверхности S, ρ — плотность массы, G — ньютоновская константа.

Интерпретации[править | править исходный текст]

В терминах силовых линий[править | править исходный текст]

Теорема Гаусса может быть интерпретирована в терминах силовых линий[7] поля так:

  1. Поток поля через поверхность есть[8] количество силовых линий, пронизывающих эту поверхность. При этом учитывается направление — силовые линии, пронизывающие поверхность в обратном направлении считаются со знаком минус.
  2. Силовые линии начинаются или кончаются только на зарядах (начинаются на положительных, кончаются на отрицательных), или могут еще уходить на бесконечность. Количество силовых линий, исходящих из заряда (начинающихся в нем) равно[9] величине этого заряда (это определение заряда в данной модели). (Для отрицательных зарядов всё так же, только заряд равен минус количеству входящих в него (кончающихся на нем) линий.
  3. Исходя из этих двух положений теорема Гаусса представляется очевидной в формулировке: количество линий, исходящих из замкнутой поверхности равно суммарному количеству зарядов внутри нее — то есть количеству линий, появившихся внутри нее. Конечно же, подразумевается учет знаков, в частности, линия, начавшаяся внутри поверхности на положительном заряде может закончиться на отрицательном заряде также внутри нее (если такой там есть), тогда они не даст вклада в поток через эту поверхность, так как или вообще до нее не дойдет, или выйдет, а потом войдет обратно (или, вообще говоря, пересечет поверхность четное количество раз поровну в прямом и противоположном направлении), что при суммировании с учетом знака даст вклад в поток ноль. То же можно сказать о линиях, начавшихся и закончившихся вне данной поверхности — по той же причине они также дадут нулевой вклад в поток через нее.

В терминах течения несжимаемой жидкости[править | править исходный текст]

Теорема Гаусса верна для поля скоростей несжимаемой жидкости. Этот факт может позволяет использовать течение несжимаемой жидкости в качестве аналогии (формальной модели), позволяющей прояснить ее смысл и наглядно представить ее математическое содержание.[10]

Полезно здесь заметить, что даже сама терминология векторного анализа, используемая в электродинамике (и в частности при формулировке теоремы Гаусса) сформировалась почти целиком под влиянием этой аналогии. Достаточно указать на такие термины, как источник поля (применительно к заряду) или поток через поверхность, которые полностью и точно соответствуют в рассматриваемой аналогии понятиям:

  • источник жидкости (в смысле места, где жидкость возникает и количественной меры ее возникновения — объем, возникающий в единицу времени),
  • поток (в смысле количества жидкости, проходящей через поверхность в единицу времени).

В терминах течения несжимаемой жидкости теорема Гаусса формулируется так: Поток жидкости, исходящий из замкнутой поверхности, равен сумме источников, находящихся внутри этой поверхности. Или, более формально: Поток вектора скорости жидкости через замкнутую поверхность равен сумме источников, находящихся внутри этой поверхности. (В сущности, это интегральный вариант уравнения непрерывности для несжимаемой жидкости, выражающего сохранение массы жидкости с учетом постоянства её плотности).

В этой формальной аналогии напряжённость поля заменяется на скорость течения жидкости, а заряд — на источник жидкости (отрицательный заряд — на «отрицательный источник» — «сток»).

Теорема Гаусса как определение заряда[править | править исходный текст]

Теорема Гаусса[11] может рассматриваться как определение (величины) заряда.

Так, для точечного заряда очевидно, что поток напряжённости поля через любую поверхность равен потоку через маленькую (бесконечно маленькую) сферу, окружающую этот заряд. Тогда последний (с точностью, быть может, до постоянного коэффициента, в зависимости от нашего произвольного выбора единиц измерения) может быть выбран в качестве определения величины этого заряда.

Вблизи заряда (бесконечно близко к нему) его собственное поле, очевидно, дает подавляющий вклад в поток через бесконечно маленькую сферу (поскольку поле безгранично растет с уменьшением расстояния). Значит, остальными полями (порождаемыми другими зарядами) можно пренебречь. Тогда можно увидеть, что данное определение согласуется с обычным (через закон Кулона).

В современной физике обычно принято считать, что определение через закон Гаусса более фундаментально (как и сам закон Гаусса по сравнению с законом Кулона — см. ниже), хотя с определенной точки зрения они просто эквивалентны.

Теорема Гаусса и закон Кулона[править | править исходный текст]

Теорема Гаусса и закон Кулона тесно связаны, как формально, так и по физическому содержанию. В некотором смысле можно утверждать, что теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона или наоборот, что закон Кулона является следствием теоремы (закона) Гаусса.

Что из них считать постулатом, а что следствием — зависит от того, какую аксиоматизацию для электродинамики (или электростатики, если ограничиваться ею) мы выбираем; формально тот или другой выбор практически[12] равноправны, а в случае электростатики это полностью так. Таким образом, выбор того или другого в качестве основания построения теории — вопрос нашего произвольного выбора.

Впрочем, аксиоматизация через закон Гаусса имеет то преимущество, что в законе Гаусса не содержится никаких произвольных параметров (таких, как степень расстояния −2 в законе Кулона), степень расстояния в законе Кулона возникает при этом автоматически из размерности пространства.

Однако, следует сделать оговорку. Если наивно считать, что закон Кулона и теорема Гаусса эквивалентны, то можно рассуждать так: из теоремы Гаусса следует закон Кулона, из закона Кулона следуют уравнения Максвелла для случая электростатики, т.о. второе уравнение Максвелла (о равенстве нулю ротора электрического поля) следует из теоремы Гаусса и является излишним. На самом деле, при выводе закона Кулона из теоремы Гаусса (см. ниже) мы дополнительно используем сферическую симметрию поля точечного заряда, а также нам необходимо ввести принцип суперпозиции, в то время как уравнения Максвелла являются самодостаточными.

Исторически первым был эмпирически открыт закон Кулона. В этом (историческом) смысле теорема Гаусса является его следствием. Именно в связи с этим она называется теоремой, так как первоначально появилась как теорема.

Непосредственно ниже показано, как закон Кулона и закон Гаусса могут быть получены в рамках электростатики[13] друг из друга.

Закон Кулона как следствие закона Гаусса[править | править исходный текст]

Исходим из теоремы Гаусса, записав ее в единицах системы СИ[14], «Поток \Phi_{E,S} вектора напряжённости E через поверхность S пропорционален заряду, заключённому в эту поверхность»:

\Phi_{E,S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}.

Для вывода Закона Кулона, будем рассматривать единственный точечный заряд в пределах замкнутой поверхности S, таким образом Q здесь будет величиной этого заряда.

Рассчитаем тот же поток прямым интегрированием по поверхности. Замечаем, что задача имеет сферическую симметрию относительно положения заряда. Из этого делаем вывод, что электрическое поле будет направлено прямо от заряда, а его величина будет одинакова для любых точек, расположенных на одинаковом расстоянии от заряда. Из этого следует, что суммарный поток будет проще всего сосчитать, если в качестве поверхности S выбрать сферу с центром в заряде. Действительно, напряжённость поля E тогда будет всюду ортогональна dS, а абсолютная величина вектора E (будем обозначать ее E) будет одинакова везде на этой сфере, и ее можно будет вынести за знак интеграла. Итак:


\Phi_{E,S} 
= \oint\limits_S \mathbf E \cdot \mathbf{dS}
= \oint\limits_S E dS
= E \oint\limits_S dS
= ES.

Имеем:


\begin{cases}
 \Phi_{E,S} = \frac{Q}{\varepsilon_0} \\
 \Phi_{E,S} = ES 
\end{cases}

Отсюда:

 ES = \frac{Q}{\varepsilon_0}.

Осталось подставить сюда для площади сферы  S = 4 \pi r^2 и разрешить уравнение относительно E.

Тогда получаем:

 E =
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r^2},

то есть — закон Кулона.

Теорема Гаусса как следствие закона Кулона[править | править исходный текст]

Элементарное доказательство[править | править исходный текст]

Элементарное доказательство строится на двух шагах: доказательстве теоремы для случая одного точечного заряда с использованием геометрических соображений, а затем применении принципа суперпозиции, вследствие которого теорема оказывается доказана для произвольного количества точечных зарядов (а значит и в общем случае).

Исходим из закона Кулона:

\mathbf E(\mathbf r) = \frac{q}{r^2} \mathbf e_r,

где \mathbf e_r — единичный вектор в направлении радиус-вектора \mathbf r, проведенного из заряда (куда мы поместили начало координат) в точку, где измеряется напряжённость поля \mathbf E(\mathbf r), r — модуль вектора r, то есть расстояние от заряда до этой точки. (В этом параграфе будем пользоваться только системой СГС, то есть кулоновская константа равна единице. Для перехода в систему СИ достаточно просто добавить множитель. Так же и переход к любой другой системе единиц будет отличаться только кулоновской константой.)

Для одного точечного заряда внутри поверхности[править | править исходный текст]

Обозначим поверхность, через которую надо вычислить поток E, буквой S. Полагаем, что наш заряд q находится внутри этой поверхности.

Окружим заряд еще одной поверхностью — сферой S0 с центром в заряде и радиусом R0 столь малым, что она целиком находится внутри поверхности S. Вычислим поток через S0:

\Phi_{S_0} = 4\pi R_0^2E.

Выберем малый (бесконечно малый, малый не только по величине, но и «компактно», то есть так, чтобы он, скажем, мог быть покрыт круговым конусом также малого телесного угла), телесный угол \omega с вершиной в заряде.

Докажем, что поток \Phi_{S,\omega}\ через площадку поверхности S, вырезаемую этим телесным углом \omega, равен потоку \Phi_{S_0,\omega} через площадку S_{0,\omega}, вырезаемую им же из сферы S0. Для этого покажем, что

1. \Phi_{S,\omega}\ = \Phi_{S_{\perp,\omega}}\  — поток через площадку S_\omega, вырезаемую телесным углом \omega из поверхности S, равен потоку через площадку S{\perp,\omega}, вырезаемую телесным углом \omega из любой плоскости, перпендикулярной лучам, лежащим внутри \omega, которые при бесконечно малом телесном угле почти параллельны, отличаясь по направлению бесконечно мало, значит площадка будет одновременно перпендикулярна (говоря строже — почти перпендикулярна) всем им одновременно.
2. \Phi_{S\perp,\omega} = \Phi_{S_0,\omega}. - в пределах телесного угла \omega, поток через площадку, перпендикулярную лучам, равен потоку через площадку сферы S_0.

Первое доказывается замечанием о том, что поток d\Phi = \mathbf E \cdot \mathbf{dS} через малую площадку dS может быть представлен как d\Phi = E (dS)_\perp, где (dS)_\perp — проекция вектора dS на направление вектора E, то есть площадь проекции данной площадки на плоскость, перпендикулярную E. А применительно к нашему случаю это и означает равенство \Phi_{S\perp,\omega} и  \Phi_{S,\omega} .

Второе видно из соображений подобия и закона Кулона (обозначив r расстояние от заряда до пересечения \omega c S, видим, что отношение площадей S{\perp,\omega} и S_{0,\omega} равно r^2 / R_0^2, в то время как E(r) / E(R_0) = R_0^2 / r^2, то есть обратному числу, в результате чего их произведения одинаковы, а это и есть потоки \Phi_{S\perp,\omega} и  \Phi_{S_0,\omega} , равенство которых надо было доказать.

В случае, если \omega пересекает S неоднократно (что возможно, если последняя достаточно сложна), все эти рассуждения, если говорить коротко, повторяются столько раз, сколько пересечений имеется, и доказывается равенство по абсолютной величине потока через каждый такой элемент поверхности S. А учитывая знаки при сложении (они, очевидно, чередуются; всего же количество пересечений должно оказаться нечетным), итоговый ответ оказывается тем же, что и для случая единственного пересечения.

А поскольку равенство этих потоков выполняется для любого малого \omega, то есть для каждого соответственного элемента S и S0, между которыми устанавливается однозначное соответствие, причем таким образом можно разбить всю сферу S0 без остатка на такие элементы, то равенство верно и для потоков через полные поверхности (которые суть просто суммы потоков через описанные элементы поверхностей S и S0). (Поскольку поверхность S замкнутая, каждому элементу на сфере находится соответствующий элемент на S — или нечетное количество элементов, как было описано выше, которые можно объединить, так как учтен поток через их все).

Итак, доказали, что для одного заряда q внутри замкнутой поверхности S поток через нее

\Phi_S = \Phi_{S_0} = 4\pi R_0^2 E.
Для одного точечного заряда вне поверхности[править | править исходный текст]

Совершенно аналогичные рассуждения, проведенные для случая, когда q находится вне области, ограничиваемой поверхностью S, с учетом знака при подсчете потока через каждую площадку, дают в результате поток ноль. (малый телесный угол теперь пересечет S четное число раз, потоки будут равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку)[15].

Суммирование элементарных потоков производится также аналогично сделанному в пункте 1, как и их вычисление.

Итак, для одного заряда вне замкнутой поверхности поток через неё нуль.

Для любого количества зарядов[править | править исходный текст]

Завершающий шаг прост. Он заключается в применении принципа суперпозиции.

Если для каждого точечного заряда поле \mathbf E_i, создаваемое им (когда остальные заряды отсутствуют), создает через поверхность поток, удовлетворяющий теореме Гаусса (то есть \Phi_i = 4\pi q_i для каждого заряда внутри поверхности, и 0 для каждого снаружи поверхности), то поток от суммарного поля

\Phi = \int\limits_S 
(\mathbf E_1 + \mathbf E_2 + \mathbf E_1 + \dots)
\cdot \mathbf{dS}
=\int\limits_S \mathbf E_1 \cdot \mathbf{dS}
+\int\limits_S \mathbf E_2 \cdot \mathbf{dS}
+\int\limits_S \mathbf E_3 \cdot \mathbf{dS}
+\dots
= \Phi_1 + \Phi_2 + \Phi_3 + \dots

равен сумме потоков, создаваемых каждым зарядом при отсутствии остальных, равен просто

\Sigma \Phi_i = 4\pi \Sigma  q_i,

где суммирование производится только по зарядам внутри поверхности (каждый из тех, что снаружи, дает вклад 0).

Теорема доказана.

Доказательство через формулу Гаусса — Остроградского[править | править исходный текст]

Это доказательство более формальное.

1. Исходим опять из закона Кулона (в этом параграфе будем использовать систему СГС и говорить для определенности о теореме поле E, а не D):

\mathbf E(\mathbf r) = \frac{q}{r^2}\frac{\mathbf r}{r}.

2. Кулоновское поле удовлетворяет дифференциальной форме закона Гаусса:

\nabla\cdot\mathbf E = 4\pi\rho.

Это можно проверить[16] прямой подстановкой[17] формулы (1) в (2).

3. Исходя из принципа суперпозиции полагаем, что поле, создаваемое многими зарядами, также удовлетворяет этому дифференциальному уравнению (попутно замечая, что уравнение это линейное, а следовательно принцип суперпозиции применим).

4. Пользуясь формулой Гаусса — Остроградского, сразу получаем:

4\pi Q
= \int\limits_V 4\pi\rho dV
= \int\limits_V \nabla\cdot\mathbf E dV
= \oint\limits_{\partial V} \mathbf E \cdot \mathbf{dS}
= \Phi_E

Теорема доказана.

Применение теоремы Гаусса[править | править исходный текст]

Являясь (вкупе с уравнением о нулевой циркуляции электрического поля) основным полевым уравнением электростатики (вместе эти два уравнения в дифференциальной форме эквивалентны уравнению Пуассона — основному и единственному дифференциальному уравнению классической теории для электростатического потенциала).

В электродинамике теорема Гаусса (закон Гаусса) также остается (полностью в том же виде) одним из главных уравнений — одним из четырех уравнений Максвелла.

В некоторых ситуациях теорема Гаусса может быть использована для прямого и легкого вычисления электростатического поля непосредственно. Это ситуации, когда симметрия задачи позволяет наложить на напряжённость электрического поля такие дополнительные условия, что вместе с теоремой Гаусса этого хватает для прямого элементарного вычисления (без применения двух обычных общих способов — решения уравнения в частных производных или лобового интегрирования кулоновских полей для элементарных точечных зарядов).

Именно таким способом с использованием теоремы Гаусса может быть выведен и сам закон Кулона (см. выше).

Конкретные примеры такого применения теоремы Гаусса разобраны здесь ниже.

В них используются следующие величины и обозначения:

  • Объёмная плотность заряда
\rho=\frac{dq}{dV},

где dV — (бесконечно малый) элемент объема,

  • Поверхностная плотность заряда
\sigma=\frac{dq}{dS},

где dS — (бесконечно малый) элемент поверхности.

\lambda=\frac{dq}{dl},

где dl — длина бесконечно малого отрезка. (Первая используется для зарядов, непрерывно распределенных по объему, вторая — для распределенных по поверхности, третья — для распределенных по одномерной линии (кривой, прямой).

Расчет напряжённости поля сферически симметричного распределения заряда[править | править исходный текст]

Способ расчета с помощью теоремы Гаусса для любого сферически симметричного распределения заряда в целом сводится к тому, что описано выше для случая точечного заряда (см. параграф о законе Кулона).

Отметим тут только в отношении неточечных источников обладающих сферической симметрией вот что (всё это является следствиями применения описанного там метода):

  1. Сферически симметричный заряд с концентрической сферической пустотой (или незаряженной областью) в середине, не создает внутри этой пустоты поля (напряжённость поля там равна нулю).
  2. Вообще поле на расстоянии r от центра создается только теми зарядами, которые находятся глубже к центру. Это поле можно рассчитать по закону Кулона: E = K Q / r^2, только под Q здесь следует понимать суммарный заряд шаровой области радиусом r (а это означает, что зависимость от r в итоге отличается от кулоновской, поскольку с ростом r растет Q, по крайней мере пока r не больше радиуса всей заряженной области — если только она в свою очередь конечна).
  3. При r, больших радиуса заряженной области (если он конечен), выполняется самый обычный закон Кулона (как для точечного заряда). Это объясняет, например, почему обычный закон Кулона работает для равномерно заряженных шаров, сфер, планет со структурой близкой к сферически симметричной даже вблизи их поверхности (например, почему вблизи поверхности Земли гравитационное поле достаточно близко к полю точечной массы, сосредоточенной в центре Земли).
  4. В интересном частном случае равномерно заряженного шара, его электрическое (или гравитационное) поле оказывается внутри шара пропорциональным расстоянию до центра.[18]

Расчёт напряжённости поля бесконечной плоскости[править | править исходный текст]

Gausstheor.svg

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной однородно заряженной плоскостью с везде одинаковой поверхностной плотностью заряда \sigma. Представим себе мысленно цилиндр с образующими, перпендикулярными к заряженной плоскости, и основаниями (площадью \Delta S каждое), расположенными относительно плоскости симметрично (см. рисунок).

В силу симметрии:

  1. Все векторы напряжённости поля (в том числе E' и E'') — перпендикулярны заряженной плоскости: действительно, в силу вращательной симметрии задачи, вектор напряжённости при любом повороте относительно оси, перпендикулярной плоскости, должен переходить в себя, а это возможно для ненулевого вектора только если он перпендикулярен плоскости. Из этого следует (кроме прочего), что поток напряжённости поля через боковую поверхность цилиндра равен нулю (так как поле направлено везде по касательной к этой поверхности).
  2. E'=E''=E.

Поток вектора напряжённости равен (в силу (1)) потоку только через основания цилиндра, а он, в силу того, что E' и E'' перпендикулярны этим основаниям и в силу (2), равен просто 2E\Delta S.

Применив теорему Гаусса, и учитывая Q = \sigma\Delta S, получим (в системе СИ):

2E\Delta S=\frac{\sigma\Delta S}{\varepsilon_0},

из чего

E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
  • В системе СГСЭ все рассуждения полностью аналогичны (с точностью до постоянных коэффициентов), а ответ записывается как E=2\pi\sigma.

Расчёт напряжённости поля бесконечной нити[править | править исходный текст]

Gauss nit.svg

Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной прямолинейной нитью с линейной плотностью заряда, равной \lambda. Пусть требуется определить напряжённость, создаваемую этим полем на расстоянии R от нити. Возьмём в качестве гауссовой поверхности цилиндр с осью, совпадающей с нитью, радиусом R и высотой \Delta l. Тогда поток напряжённости через эту поверхность по теореме Гаусса таков (в единицах СИ):

\Phi_\mathbf{E}=\frac{Q}{\varepsilon_0}=\frac{\lambda\Delta l}{\varepsilon_0}.

В силу симметрии

  1. вектор напряжённости поля направлен перпендикулярно нити, прямо от нее (или прямо к ней).
  2. модуль этого вектора в любой точке поверхности цилиндра одинаков.

Тогда поток напряжённости через эту поверхность можно рассчитать следующим образом:

\Phi_\mathbf{E}=\sum_i\Delta S_iE_i=E\sum_i\Delta S_i=ES=E2\pi R\Delta l.

Учитывается только площадь боковой поверхности цилиндра, так как поток через основания цилиндра равен нулю (вследствие направления E по касательной к ним). Приравнивая два полученных выражения для \Phi_{\mathbf E}, имеем:

\frac{\lambda\Delta l}{\varepsilon_0}=E2\pi R\Delta l,
E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 R}.

(В системе СГС ответ: E=2\lambda/R).

Другие задачи[править | править исходный текст]

Описанный способ применим и для решения некоторых других задач.

Прежде всего следует отметить, что так же, как для сферической симметрии задачи можно рассчитать не только поле точечного заряда, но и других источников такой симметрии, так это верно и для источников цилиндрической симметрии (можно легко рассчитать поле не только бесконечной нити, но и бесконечного цилиндра — как вовне, так и внутри него, трубы итд), а также для источников двумерной трансляционной симметрии (можно рассчитать не только поле тонкой плоскости, но и, например, поле толстого плоского слоя).

Далее, подобные задачи можно решать не только для размерности пространства, равной трем, но и для большей или меньшей (в принципе, любой) размерности пространства. Это может быть важным в теоретическом плане. Например, очевидным результатом такого подхода является утверждение, что в закон Кулона в n-мерном неискривленном пространстве r входит в степени -(n-1), а локально (при небольших r) это верно и для искривленных пространств.

Более того, теорема Гаусса позволяет в некоторых случаях легко вычислить электростатическое (или подобное ему) поле не только в плоском пространстве, но и в пространстве с кривизной. В качестве примера можно привести задачу о нахождении аналога закона Кулона для двумерного пространства, представляющего собой поверхность сферы (решение легко находится и очевидно отличается от обычного закона Кулона)[19].

Следствия из теоремы Гаусса[править | править исходный текст]

  • Следствием теоремы Гаусса является теорема Ирншоу.
  • Электростатическое поле, создаваемое внешними зарядами внутри эквипотенциальной поверхности (например, внутри хорошо проводящей поверхности) равно нулю. Это свойство служит обоснованием экранирования высокочувствительных приборов от электрических помех заключением их в замкнутую проводящую оболочку. Хотя для доказательства аналогичного утверждения в общем случае переменных полей теоремы Гаусса недостаточно (?).

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. И позволяет сделать это не только для трехмерного пространства, но и для любой размерности пространства, какая может встретиться в теории.
  2. Хотя на практике, особенно в разговорной речи, различия в употреблении этих терминов зачастую не делается.
  3. Здесь для краткости приводим снова только в СГС.
  4. Его наличие качественно объясняется тем, что при поляризации диэлектрической среды составляющие ее диполи ориентируются так, что часть из них пересекается поверхностью, и внутри нее оказываются концы диполей одинакового знака, которые и создают внутри нее дополнительный "связанный" заряд Qb.
  5. Если бы магнитные монополи существовали (или если они на самом деле существуют и будут обнаружены), приведенные уравнения имели бы вид (или должны будут принять вид):
    \Phi_\mathbf{B}\equiv\oint\limits_S\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=Q_m,
    \nabla\cdot\mathbf{B}=\rho_m,
    где Q_m, \rho_m — магнитный заряд (заряд магнитных монополей) и плотность магнитного заряда. Кроме прочего, ничто не запрещает рассмотреть магнитные заряды чисто формально, в духе теоремы Ампера о магнитном листке, когда это удобно для решения какой-то задачи; в этом случае поток, создаваемый формально введенными магнитными зарядами, также удовлетворяет приведенным здесь уравнениям. При этом изменится еще и уравнение Максвелла о законе электромагнитной индукции. (Приведен вид уравнений в полностью рационализированной системе единиц; в зависимости от выбора конкретной системы единиц, в правой части может возникать постоянный множитель, например в обычной гауссовой системе единиц там появится обычный для нее множитель 4\pi).
  6. Знак минус появляется из-за того, что таков и знак в законе всемирного тяготения, аналоге закона Кулона в ньютоновской теории гравитации.
  7. Такая интерпретация исторически восходит, видимо, к Фарадею.
  8. Или пропорционален ему с постоянным коэффициентом (что то же самое, так как зависит только от условной конкретизации модели).
  9. Или пропорционально, в зависимости от используемых единиц измерения и условного соглашения реализации модели.
  10. Исторически эта аналогия имела существенное значение для Максвелла и интенсивно применялась в ходе последующего развития электродинамики.
  11. Для тех теорий и полей, когда она выполняется, то есть, например, для электродинамики.
  12. Аксиоматизация электродинамики, в которой первичным выступает закон Кулона позволяет получить вывод о верности уравнений Максвелла — и теоремы Гаусса в том числе — для равномерных движений зарядов, но требует дополнительного постулата о распространении этих уравнений на случай ускоренных движений, обратный же переход от уравнений Максвелла к закону Кулона не требует дополнительных предположений. В этом смысле эти два вида аксиоматизации не совсем симметричны (а закон Кулона выступает в совокупности с несколькими дополнительными постулатами), что, впрочем, не делает эти аксиоматизации неэквивалентными.
  13. Тут надо ограничиться рамками электростатики по той причине, что закон Кулона как таковой имеет место только в ее рамках.
  14. Это представляется для данного параграфа методически более подходящим для данного параграфа, чем, скажем, использовать нерационализированную СГС.
  15. В результате сфера S0 в этом случае даже не понадобится.
  16. Догадаться о том, что уравнение должно быть именно таким, можно, например, из аналогии с течением жидкости. Правда, такая аналогия сразу доказывает и всю теорему, но это доказательство теряет математические детали, которые нам бы хотелось проследить, поэтому мы ограничиваемся использованием этой аналогии только в качестве эвристической подсказки (если нас вообще интересует этот вопрос; иначе достаточно просто вычислительной проверки, о которой говорится в основном тексте).
  17. Например, расписав выражение (1) для закона Кулона явно в декартовых координатах — после чего осталось только взять производные по x, y и z и их сложить.
  18. Это поле можно при желании померить, если в шаре есть тонкий колодец или если шар жидкий — тогда в него легко проникнуть. Таким образом, на тело внутри такого шара действует сила как в гармоническом осцилляторе, а если шар жидкий, то есть не мешает свободному движению пробного тела в любом направлении, то имеем трехмерный гармонический осциллятор.
  19. Может показаться, что последняя задача чисто абстрактна, однако на самом деле она легко реализуется практически: достаточно взять тонкий сферических слой проводящей жидкости — например, между изолирующими сферическими стенками — или просто мыльный пузырь; электрическое поле в таком слое будет соответствовать описанной ситуации. Можно также рассмотреть магнитное поле в тонком сферическом пустом слое, заключенном между концентрическими сверхпроводящими стенками, такая система реализует описанную задачу уже для магнитного поля.

Литература[править | править исходный текст]

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с, ил. и более поздние издания.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.. — Т. III. Электричество. — §§ 5 — 8, 13, 53.