Ядро Дирихле —
-периодическая функция, задаваемая следующей формулой[1][2]:
![{\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{\frac {e^{ikx}}{2}}={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin(x/2)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21be17998d6c9fe84d7b1012031181e3dec6a14)
Функция названа в честь французско-немецкого математика Дирихле. Данная функция является ядром, свёртка с которым даёт частичную сумму тригонометрического ряда Фурье. Это позволяет аналитически оценивать соотношения между исходной функцией и её приближениями в пространстве
.
Пусть
— интегрируема на
и
-периодическая, тогда
Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.
Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.
Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:
Рассмотрим сумму косинусов:
Умножим каждое слагаемое на
и преобразуем по формуле
Применяя это преобразование к формуле (4), получим:
Сделаем замену переменного
— функция
-периодическая и четная.
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }D_{n}(u)du={\pi }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2384dcf9e097921cd510da37590998b120877f59)
- ↑ Математическая энциклопедия / Виноградов И.М.. — М.: Советская энциклопедия. — Т. 2. — С. 194.
- ↑ Dirichlet kernel (неопр.). Дата обращения: 23 августа 2017. Архивировано 23 августа 2017 года.