Кружевное зацепление

Кружевной узел (−2,3,7) имеет две правосторонние скрутки в первом плетении, три левосторонние скрутки во втором и семь левосторонних скруток в третьем.

В теории узлов кружевное зацепление (или крендельное зацепление) — это специальный вид зацепления. Кружевное зацепление, являющееся также узлом (то есть зацеплением с одной компонентой), называется кружевным узлом, крендельным узлом или просто кренделем.

В стандартной проекции кружевное зацепление $(p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})$ имеет $p_{1}$ левосторонних скруток в первом плетении, $p_{2}$ во втором и, в общем случае, $p_{n}$ в n-ом.

Кружевное зацепление можно описать как зацепление Монтезиноса с целым числом переплетений.

Некоторые базовые результаты

Кружевное зацепление $(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})$ является узлом тогда и только тогда, когда и $n$, и все $p_{i}$ являются нечётными или в точности одно из чисел $p_{i}$ чётно .

Кружевное зацепление $(p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})$ является разводимым, если по меньшей мере два $p_{i}$ равны нулю. Однако обратное неверно.

Кружевное зацепление $(-p_{1},-p_{2},\dots ,-p_{n})$ является отражением кружевного зацепления $(p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})$.

Кружевное зацепление $(p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})$ эквивалентно (то есть гомотопически эквивалентно на S³) кружевному зацеплению $(p_{2},\,p_{3},\dots ,\,p_{n},\,p_{1})$. Тогда, также, кружевное зацепление $(p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{n})$ эквивалентно кружевному зацеплению $(p_{k},\,p_{k+1},\dots ,\,p_{n},\,p_{1},\,p_{2},\dots ,\,p_{k-1})$.

Кружевное зацепление $(p_{1},\,p_{2},\,\dots ,\,p_{n})$ эквивалентно кружевному зацеплению $(p_{n},\,p_{n-1},\dots ,\,p_{2},\,p_{1})$. Однако если ориентировать зацепление в каноническом виде, эти два зацепления имеют противоположную ориентацию.

Примеры

Трилистник

Кружевной узел (1, 1, 1) — это (правосторонний) трилистник, а узел (−1, −1, −1) является его зеркальным отражением.

Стивидорный
узел

Кружевной узел (5, −1, −1) — это стивидорный узел (6₁).

Если p, q и r являются различными нечётными числами, большими 1, то кружевной узел (p, q, r) является необратимым.

Кружевное зацепление (2p, 2q, 2r) — это зацепление, образованное тремя связанными тривиальными узлами.

Прямой узел

Кружевной узел (−3, 0, −3) (прямой узел) является связной суммой двух трилистников.

Кружевное зацепление (0, q, 0)) — это разводимое зацепление тривиального узла с другим узлом.

Зацепление Монтесиноса

Зацепление Монтесиноса. В этом примере $e=-3$ , $\alpha _{1}/\beta _{1}=-3/2$ и $\alpha _{2}/\beta _{2}=5/2$ .

Зацепление Монтесиноса — это специальный вид зацепления, обобщающее кружевные зацепления (кружевное зацепление можно считать зацеплением Монтесиноса с целыми переплетениями). Зацепление Монтесиноса, являющееся также узлом (то есть, зацепление с однлй компонентой) является узлом Монтесиноса.

Зацепление Монтесиноса состоит из нескольких рациональных плетений. Одним из обозначений зацепления Монтесиноса является $K(e;\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n})$ .

В этих обозначениях $e$ и все $\alpha _{i}$ и $\beta _{i}$ являются целыми числами. Зацепление Монтесиноса, заданное таким обозначением, состоит из суммы рациональных плетений, заданных целым числом $e$, и рациональных плетений $\alpha _{1}/\beta _{1},\alpha _{2}/\beta _{2},\ldots ,\alpha _{n}/\beta _{n}$

Использование

Съедобный кружевной узел (−2,3,7)

Кружевные зацепления (−2, 3, 2n + 1) особенно полезны при изучении 3-многообразий. В частности, для этих многообразий многие результаты были установлены на основе хирургии Дена на кружевном узле (−2,3,7).

Гиперболический объём дополнения кружевного зацепления (−2,3,8) равен учетверённой постоянной Каталана, примерно 3,66. Это кружевное зацепление является одним из двух гиперболических многообразий с двумя каспами с минимальными возможными объёмами, второе многообразие является дополнением зацепления Уайтхеда.

Литература

• Ian Agol. The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2010. — Т. 138, вып. 10. — doi:10.1090/S0002-9939-10-10364-5.

Литература для дальнейшего чтения

• Hale F. Trotter. Non-invertible knots exist // Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — С. 275—280.
• Akio Kawauchi. A survey of knot theory. — Birkhäuser, 1996. — ISBN 3-7643-5124-1.
• Heiner Zieschang. Classification of Montesinos knots // Topology / A. Dold, B. Eckmann/Ludwig D.Faddeev, Arkadii A. Mal’cev. General and Algebraic Topology, and Applications. Proceeding of the International Topological Conference held in Leningrad, August 23-27, 1982. — Berlin Heidelberg: Springer, 1984. — Т. 1060. — (Lecture Notes in Mathematics/USSR). — ISBN 3-540-13337-2. — ISBN 0-387-13337-2.