Ошибка игрока

Колесо рулетки

Оши́бка игрока́ (англ. gambler’s fallacy) или ложный вывод Монте-Карло отражает распространённое ошибочное понимание случайности событий. Связана с тем, что, как правило, человек не осознаёт на интуитивном уровне того факта, что вероятность каждого последующего исхода не зависит от предыдущих исходов случайного события. Однако теория вероятности изучающая случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними, рассматривает каждое событие по отдельности, как статистически независимое от предыдущих , а не в цепи событий.

Описание

«Ошибка игрока» представляет собой ошибочное понимание случайности событий, что приводит к убеждению в том, что если в повторяющихся независимых испытаниях случайного процесса наблюдалось отклонение от ожидаемого поведения, тогда будущие отклонения в противоположном направлении вероятны.

Казино Монте-Карло

Происхождение названия такого когнитивного заблуждения как «ложный вывод Монте-Карло» связывают с событиями произошедшими 18 августа 1913 года, когда за одним из игровых столов с рулеткой в казино Монте-Карло шарик останавливался на чёрном поле рулетки 26 раз подряд. Как известно, на колесе рулетки половина красных и половина красных ячеек (карманов); следовательно вероятность выпадения одного из цветов равняется 50 %. Однако тогда в Монте-Карло чёрный цвет выпал 26 раз подряд, в связи с чем игроки ставили на красное, надеясь, что последовательность выпадения чёрного прервётся и проигрывали. Эту историю часто приводят исследователи занимающиеся психологией азартных игр. Наблюдения за современными игроками в рулетку показывают, что «ошибка игрока» до сих пор оказывает влияние на выбор, который они делают. В литературе отмечается, что такой распространённый среди азартных игроков ложный вывод приводит к его использованию в качестве «стратегии Монте-Карло», что является абсолютно неверным умозаключением. Такое заблуждение иногда ещё называют ошибкой зрелости шансов (англ. fallacy of the maturity of chances).

Аналогичный хрестоматийный случай имел место в Италии и получил название «лихорадка 53 номера» (итал. La febbre per il 53). Начиная с 2003 года на протяжении многих розыгрышей итальянской лотереи перестал выпадать выигрышный номер 53. Это совпадение заставило многих людей ставить на эту цифру больше. По наблюдению психолога Дэвида Робсона (англ. David Robson), автора книги «Ловушка интеллекта: почему умные люди делают глупости», в этом случае имело место также «ошибка игрока»: «ведь, казалось бы, это очевидно: если цифра не выпадает так долго, то она должна выпасть вот-вот!» По его словам, к началу 2005 года «лихорадка 53» привела к банкротству многих людей, некоторые люди кончали жизнь самоубийством, так ставили на 53-й номер значительные суммы денег, и проиграли: «Массовая истерия завершилась только после того, как 9 февраля цифра 53 наконец выпала — после того, как не выпадала 182 тиража подряд. За это время на неё было поставлено в общей сложности 4 миллиарда евро. Четыре проигранных миллиарда». По мнению Робсона: «Какими бы ни были причины такой фальшивой интуиции, исследования показывают: ошибка игрока может иметь самые серьезные последствия — не только в казино». Согласно исследованиям, люди с более высоким коэффициентом интеллекта предрасположены к этому когнитивному заблуждению больше других, что объясняют тем, что они придают большее значение закономерностям и таким образом, что склонны верить в то, что могут предугадать, какое событие может произойти в следующий раз.

Симуляция подбрасываний монеты, которая с одной стороны красная, с другой стороны синяя. Исход каждого подбрасывания добавляется как цветная точка в соответствующий столбик. Круговая диаграмма показывает, что соотношение красного и чёрного приближается к 50-50 (закон больших чисел).

В случае с подбрасыванием монеты много раз вполне может произойти такая ситуация, что выпадет 9 «решек» подряд. Если монета «нормальная», то для многих людей кажется очевидным, что при следующем броске вероятность выпадения «орла» будет больше: сложно поверить, что «решка» может выпасть десятый раз подряд. Тем не менее, такой вывод является ошибочным. Вероятность выпадения следующего орла или решки по-прежнему остаётся 1/2.

Нужно, однако, разграничивать понятия: вероятность выпадения «орла» или «решки» в каждом конкретном случае и вероятность выпадения «решки» $n$ раз подряд (например, два раза подряд или десять раз подряд). Последняя будет равна $(1/2)^{n}=1/2^{n}$ (для случаев с двумя или десятью выпадениями подряд — соответственно $1/4$ или $1/1024$). Впрочем, такой же будет вероятность выпадения и любой другой фиксированной последовательности из «орлов» и «решек» при $n$ бросках монеты.

В целом, если мы представим A_i за событие, то при подбрасывании i правильных монет все они выпадут «орлом» вверх, тогда получается:

$\Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})={1 \over 2^{n}}$.

Если теперь представить, что мы только что получили четыре последовательных «орла» подряд, так что если пятая монета выпадет «орлом» вверх, то мы закончили цикл из пяти «орлов». Игрок может надеяться, что скорее выпадет «решка» чем «орёл». Однако, это не так, вероятность такого цикла составляет 1/32 (один из тридцати двух), ошибка заключается в том, что событие выпадения пяти «орлов» подряд равновероятны с событием выпадения четырёх «орлов» и одной «решки», каждое из которых имеет вероятность 1/32. Таким образом при выпадении четырёх «орлов» вероятность выпадения пяти составляет:

$\Pr \left(A_{5}|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)=\Pr \left(A_{5}\right)={\frac {1}{2}}$.

Хотя вероятность выпадения пяти «орлов» подряд составляет 1/32 = 0.03125, это вероятность по отношению к первому подбрасыванию. После первых четырёх подбрасываний их исходы уже известны, следовательно их вероятности равняются 1. Утверждение, что вероятность выпадения «решки» в следующем подбрасывании выше из-за предыдущих выпадений «орлов», то есть успехи в прошлом каким-либо образом влияют на шансы в будущем и является заблуждением.

Из предыдущего видно, что, если мы подбросим монету 21 раз, тогда вероятность 21 «орла» составляет 1 из 2,097,152. Однако вероятность получения «орла» после 20 предыдущих «орлов» подряд является 1/2. Такой вариант является применением теоремы Байеса. которая позволяет определить вероятность какого-либо события при условии, что произошло другое статистически взаимозависимое с ним событие.

Рассмотрим такие две вероятности, принимая во внимание, что у нас правильная монета:

• вероятность 20 «орлов» и следующей «решки» = 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹

• вероятность 20 «орлов» и следующего «орла» = 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹

Таким образом обе эти вероятности равняются 1 из 2,097,152. Тогда, равновероятно выбросить 21 «орёл» подряд и 20 «орлов» подряд с последующим одной «решкой». Далее, эти возможности имеют такую ​​же вероятность как и любой другой набор исходов (всего таких 2,097,152); все такие комбинации имеют вероятности равные 0.521 или 1 из 2,097,152. Из этого видно, что нет причин для предположения, что удача изменится в зависимости от предыдущих попыток. Следовательно, как и говорит теорема Байеса, исход каждой попытки сводится к базовой вероятности для правильной монеты: 1⁄2.

См. также

• Парадокс Берксона
• Парадокс закономерности
• Задача о разорении игрока

Литература

• Ayton, P.; Fischer, I. (2004), "The hot-hand fallacy and the gambler's fallacy: Two faces of subjective randomness?", Memory and Cognition, 32: 1369—1378, doi:10.3758/bf03206327
• Barron, Greg; Leider, Stephen (2010), "The role of experience in the Gambler's Fallacy", Journal of Behavioral Decision Making, 23 (1): 117—129, doi:10.1002/bdm.676, ISSN 0894-3257
• Beach, L. R.; Swensson, R. G. (1967), "Instructions about randomness and run dependency in two-choice learning", Journal of Experimental Psychology, 75: 279—282, doi:10.1037/h0024979
• Burns, Bruce D.; Corpus, Bryan (2004), "Randomness and inductions from streaks: "Gambler's fallacy" versus "hot hand"", Psychonomic Bulletin & Review, 11 (1): 179—184, doi:10.3758/BF03206480, ISSN 1069-9384
• Chen, Daniel; Moskowitz, Tobias J.; Shue, Kelly (2016-03-24), "Decision-Making Under the Gambler's Fallacy: Evidence from Asylum Judges, Loan Officers, and Baseball Umpires*", The Quarterly Journal of Economics (англ.): qjw017, doi:10.1093/qje/qjw017, ISSN 0033-5533
• Darling, David. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes (англ.). — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 978-0-471-27047-8.
• Fischbein, E.; Schnarch, D. (1997), "The evolution with age of probabilistic, intuitively based misconceptions", Journal for Research in Mathematics Education, 28: 96—105, doi:10.2307/749665
• Huber, J.; Kirchler, M.; Stockl, T. (2010), "The hot hand belief and the gambler's fallacy in investment decisions under risk", Theory and Decision, 68: 445—462, doi:10.1007/s11238-008-9106-2
• Keren, Gideon; Lewis, Charles (1994), "The Two Fallacies of Gamblers: Type I and Type II", Organizational Behavior and Human Decision Processes, 60 (1): 75—89, doi:10.1006/obhd.1994.1075, ISSN 0749-5978
• Lehrer, Jonah. How We Decide (неопр.). — New York: Houghton Mifflin Harcourt, 2009. — ISBN 978-0-618-62011-1.
• O'Neill, B.; Puza, B.D. (2005), "In defence of the reverse gambler's belief", The Mathematical Scientist, 30 (1): 13—16, ISSN 0312-3685
• Oppenheimer, D. M.; Monin, B. (2009), "The retrospective gambler's fallacy: Unlikely events, constructing the past, and multiple universes", Judgment and Decision Making, 4: 326—334
• Rogers, Paul (1998), "The cognitive psychology of lottery gambling: A theoretical review", Journal of Gambling Studies, 14 (2): 111—134, doi:10.1023/A:1023042708217, ISSN 1050-5350
• Roney, C. J.; Trick, L. M. (2003), "Grouping and gambling: A gestalt approach to understanding the gambler's fallacy", Canadian Journal of Experimental Psychology, 57: 69—75, doi:10.1037/h0087414
• Suetens, Sigrid; Galbo-Jørgensen, Claus B.; Tyran, Jean-Robert (2016-06-01), "Predicting Lotto Numbers: A Natural Experiment on the Gambler's Fallacy and the Hot-Hand Fallacy", Journal of the European Economic Association (англ.), 14 (3): 584—607, doi:10.1111/jeea.12147, ISSN 1542-4774
• Sundali, J.; Croson, R. (2006), "Biases in casino betting: The hot hand and the gambler's fallacy", Judgment and Decision Making, 1: 1—12
• Gilovich, Thomas (1991), How we know what isn't so, New York: The Free Press, pp. 16—19, ISBN 0-02-911706-2
• Tune, G. S. (1964), "Response preferences: A review of some relevant literature", Psychological Bulletin, 61 (4): 286—302, doi:10.1037/h0048618, PMID 14140335
• Tversky, Amos; Daniel Kahneman (1971), "Belief in the law of small numbers", Psychological Bulletin, 76 (2): 105—110, doi:10.1037/h0031322
• Tversky, Amos; Daniel Kahneman (1974), "Judgment under uncertainty: Heuristics and biases", Science, 185 (4157): 1124—1131, doi:10.1126/science.185.4157.1124, PMID 17835457
• Xue, G.; Lu, Z.; Levin, I. P.; Bechara, A. (2011), "An fMRI study of risk-taking following wins and losses: Implications for the gambler's fallacy", Human Brain Mapping, 32: 271—281, doi:10.1002/hbm.21015

Ссылки

• The gambler’s fallacy exposed
• The Gambler’s Fallacy