Шахматная доска Фейнмана: различия между версиями
Создано переводом страницы «Feynman checkerboard» |
(нет различий)
|
Версия от 13:27, 19 апреля 2020
Шахматная доска Фейнмана (релятивистская шахматная доска) — предложенная Ричардом Фейнманом модель, иллюстрирующая формулировку «суммы по путям» для интеграла по траекториям свободной частицы со спином ½, движущейся в одном пространственном измерении. Она обеспечивает представление решений уравнения Дирака в (1 + 1) -мерном пространстве-времени в виде дискретных сумм.
Модель можно визуализировать, рассматривая релятивистские случайные блуждания на двумерной шахматной доске пространства-времени. На каждом дискретном временном шаге частица массы проходит расстояние влево или вправо ( — скорость света). Для такого дискретного движения интеграл по Фейнману сводится к сумме по возможным путям. Фейнман продемонстрировал, что если каждый «поворот» (изменение движения слева направо или наоборот) пути в пространстве-времени взвешивается с коэффициентом ( — приведенная постоянная Планка), в пределе бесконечно малых квадратов шахматной доски сумма всех взвешенных путей дает пропагатор, который удовлетворяет одномерному уравнению Дирака. В результате спиральность (одномерный эквивалент спина) получается из простого правила типа клеточных автоматов.
Модель шахматной доски важна, потому что она связывает спин и хиральность с распространением в пространстве-времени[1] и является единственной формулировкой суммы по пути, в которой квантовая фаза дискретна на уровне путей, принимая только значения, соответствующие корню 4-й степени из единицы .
История
Фейнман изобрел модель в 1940-х годах при разработке своего пространственно-временного подхода к квантовой механике.[2] Он не опубликовал результат, пока он не появился в тексте об интегралах по путям, соавтором которого был Альберт Хиббс в середине 1960-х годов.[3] Модель не была включена в оригинальную статью с интегралом по траектории потому что подходящее обобщение для четырехмерного пространства-времени не было найдено.[4]
Одна из первых связей между амплитудами, предписанными Фейнманом для частицы Дирака в 1 + 1 измерениях, и стандартной интерпретацией амплитуд в терминах ядра или пропагатора, была установлена Джаянтом Нарликаром в детальном анализе.[5] Название «модель шахматной доски Фейнмана» было придумано Гершем, когда он продемонстрировал ее связь с одномерной моделью Изинга.[6] Гаво и соавторы обнаружили связь между моделью и стохастической моделью телеграфных уравнений благодаря Марку Кацу посредством аналитического продолжения.[7] Якобсон и Шульман рассмотрели переход от релятивистского к нерелятивистскому интегралу пути.[8] Впоследствии Орд показал, что модель шахматной доски была встроена в корреляции в первоначальной стохастической модели Каца[9] и поэтому имела чисто классический контекст, свободный от формального аналитического продолжения.[10] В том же году Кауфман и Нойес[11] выпустили полностью дискретную версию, касающуюся физики битовых струн, которая превратилась в общий подход к дискретной физике.[12]
Расширения
Хотя Фейнман не дожил до публикации расширений модели шахматной доски, из его архивных заметок видно, что он был заинтересован в установлении связи между корнями 4-й степени из единицы (используемых в качестве статистических весов на путях шахматной доски) и своим совместным с Дж. А. Уилером открытием, что античастицы эквивалентны частицам, движущимся назад во времени. Его заметки содержат несколько набросков дорожек шахматной доски с добавленными пространственно-временными петлями.[13] Первым расширением модели, которая явно содержала такие петли, была «спиральная модель», в которой на шахматной доске допускались спиральные траектории в пространстве-времени. В отличие от случая с шахматной доской, причинно-следственная связь должна быть реализована явно, чтобы избежать расхождений, однако с этим ограничением уравнение Дирака возникло как предел континуума.[14] Далее роли «дрожащего движения», античастиц и моря Дирака в модели шахматной доски были выяснены[15] и через нерелятивистский предел рассмотрены следствия для уравнения Шредингера.[16]
Дальнейшие расширения исходной 2-мерной модели пространства-времени включают такие особенности, как улучшенные правила суммирования[17] и обобщенные решетки.[18] Не было единого мнения об оптимальном расширении модели шахматной доски до полностью четырехмерного пространства-времени. Существуют два различных класса расширений: те, которые работают с фиксированной базовой решеткой[19][20] и те, которые встраивают двумерный случай в пространство более высокой размерностью.[21][22] Преимущество первого состоит в том, что сумма по путям ближе к нерелятивистскому случаю, однако простая картина единственной, не зависящей от направления скорости света теряется. В последних расширениях свойство фиксированной скорости поддерживается за счет переменных направлений на каждом шаге.
Примечания
- ↑ Schweber, Silvan S. QED and the men who made it. — Princeton University Press, 1994.
- ↑ Feynman, R. P. (1948-04-01). "Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics". Reviews of Modern Physics. 20 (2). American Physical Society (APS): 367—387. doi:10.1103/revmodphys.20.367. ISSN 0034-6861.
- ↑ Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, New York: McGraw-Hill, Problem 2-6, pp. 34–36, 1965.
- ↑ R. P. Feynman, The Development of the Space-Time View of Quantum Electrodynamics, Science, 153, pp. 699–708, 1966 (Reprint of the Nobel Prize lecture).
- ↑ J. Narlikar, Path Amplitudes for Dirac particles, Journal of the Indian Mathematical Society, 36, pp. 9–32, 1972.
- ↑ Gersch, H. A. (1981). "Feynman's relativistic chessboard as an ising model". International Journal of Theoretical Physics. 20 (7). Springer Nature: 491—501. doi:10.1007/bf00669436. ISSN 0020-7748.
- ↑ Gaveau, B. (1984-07-30). "Relativistic Extension of the Analogy between Quantum Mechanics and Brownian Motion". Physical Review Letters. 53 (5). American Physical Society (APS): 419—422. doi:10.1103/physrevlett.53.419. ISSN 0031-9007.
- ↑ Jacobson, T (1984-02-01). "Quantum stochastics: the passage from a relativistic to a non-relativistic path integral". Journal of Physics A: Mathematical and General. 17 (2). IOP Publishing: 375—383. doi:10.1088/0305-4470/17/2/023. ISSN 0305-4470.
- ↑ Kac, Mark (1974). "A stochastic model related to the telegrapher's equation". Rocky Mountain Journal of Mathematics. 4 (3). Rocky Mountain Mathematics Consortium: 497—510. doi:10.1216/rmj-1974-4-3-497. ISSN 0035-7596.
- ↑ Ord, G.N. (1996). "The Schrödinger and Dirac Free Particle Equations without Quantum Mechanics". Annals of Physics. 250 (1). Elsevier BV: 51—62. doi:10.1006/aphy.1996.0087. ISSN 0003-4916.
- ↑ Kauffman, Louis H. (1996). "Discrete physics and the Dirac equation". Physics Letters A. 218 (3—6). Elsevier BV: 139—146. arXiv:hep-th/9603202. doi:10.1016/0375-9601(96)00436-7. ISSN 0375-9601.
- ↑ Louis H. Kauffman, Non-Commutative Worlds – A Summary, 2005, arXiv:quant-ph/0503198.
- ↑ Schweber, Silvan S. (1986-04-01). "Feynman and the visualization of space-time processes". Reviews of Modern Physics. 58 (2). American Physical Society (APS): 449—508. doi:10.1103/revmodphys.58.449. ISSN 0034-6861.
- ↑ Ord, G. N. (1992). "Classical analog of quantum phase". International Journal of Theoretical Physics. 31 (7). Springer Nature: 1177—1195. doi:10.1007/bf00673919. ISSN 0020-7748.
- ↑ Ord, G. N. (2002-12-02). "The Feynman Propagator from a Single Path". Physical Review Letters. 89 (25). arXiv:quant-ph/0109092. doi:10.1103/physrevlett.89.250403. ISSN 0031-9007. PMID 12484870.
- ↑ Ord, G.N. (2003). "Entwined pairs and Schrödinger's equation". Annals of Physics. 308 (2). Elsevier BV: 478—492. arXiv:quant-ph/0206095. doi:10.1016/s0003-4916(03)00148-9. ISSN 0003-4916.
- ↑ Kull, Andreas (1999). "On the path integral of the relativistic electron". International Journal of Theoretical Physics. 38 (5): 1423—1428. arXiv:quant-ph/9901058. doi:10.1023/a:1026637015146. ISSN 0020-7748.
- ↑ Kull, Andreas (2002). "Quantum mechanical motion of relativistic particle in non-continuous spacetime". Physics Letters A. 303 (2—3): 147—153. arXiv:quant-ph/0212053. doi:10.1016/s0375-9601(02)01238-0. ISSN 0375-9601.
- ↑ Jacobson, T. Non-Linear Equations in Classical and Quantum Field Theory. — Springer Berlin Heidelberg, 1985. — Vol. 226. — P. 386–395. — ISBN 978-3-540-15213-2. — doi:10.1007/3-540-15213-x_88.
- ↑ Frank D. Smith, HyperDiamond Feynman Checkerboard in 4-dimensional Spacetime, 1995, arXiv:quant-ph/9503015
- ↑ Ord, G.N. (1993). "On the Dirac Equation in 3 + 1 Dimensions". Annals of Physics. 222 (2). Elsevier BV: 244—253. doi:10.1006/aphy.1993.1022. ISSN 0003-4916.
- ↑ Rosen, Gerald (1983-08-01). "Feynman path summation for the Dirac equation: An underlying one-dimensional aspect of relativistic particle motion". Physical Review A. 28 (2). American Physical Society (APS): 1139—1140. doi:10.1103/physreva.28.1139. ISSN 0556-2791.