Корни из единицы

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^n-1 (n\geqslant 1)$. Другими словами, это комплексные числа, $n$-я степень которых равна 1. Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье, теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

$1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0$

Тогда по формуле Муавра, получим:

$u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1$

Здесь $u_k$ — корни из единицы.

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

$u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1$

Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно $n$, и все они различны.

Свойства

Геометрические свойства

• Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица.
• Если $u_k$ — корень из единицы, то сопряжённое к нему число $\overline {u_k}$ — тоже корень из единицы.
• Пусть M — произвольная точка единичной окружности. Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней из единицы равна 2n.

Алгебраические свойства

• Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
• Корни из единицы образуют по умножению группу. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы.
• Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов $\mathbb{Z}_n$. Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент $u_k$, индекс $k$ которого взаимно прост с $n$.
  • Следствия:
    • элемент $u_1$ всегда является первообразным;
    • если $n$ — простое число, то степени любого корня, кроме $\pm 1$, охватывают всю группу;
    • число первообразных корней равно $\varphi (n)$, где $\varphi$ — функция Эйлера.
• Если $n > 1$, то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы $u$ имеет место формула:

$\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 .$

• $\prod_{k=1}^{n-1} |1-u_k| = n \qquad (n > 1)$

Кубические корни из единицы

Примеры

Кубические корни из единицы:

$\left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}$

Корни 4-й степени из единицы:

$\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\}$

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:

$\left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.$

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:

$\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} .$

Круговые поля

Круговое поле, или поле деления круга степени n (англ. Cyclotomic field) — это поле $K_n = \mathbb {Q}(u)$, порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_3$ состоит из комплексных чисел вида $a+b \sqrt{3}\ i$, где $a, b$ — рациональные числа.

Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

История

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

$x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=0$

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение только если $n$ может быть представлено в виде $~2^{2^r}+1.$ Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год).

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа.

См. также

• Первообразный корень

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9
• Milne, James S. Algebraic Number Theory. Course Notes (1998). Архивировано из первоисточника 2 апреля 2012.

Ссылки

• Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.