Корни из единицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена x^n-1 (n\geqslant 1). Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1.

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье[1], теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представление[править | править вики-текст]

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

1=\cos\ 0 + i\ \sin\ 0

Тогда по формуле Муавра, получим:

u_k=\cos {\frac{2\pi k}{n}} +i\ \sin {\frac{2\pi k}{n}}, \quad k=0,1,...,n-1

Здесь u_k — корни из единицы.

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

u_k=e^{\frac{2\pi k i}{n} }, \quad k=0,1,...,n-1

Из этих формул вытекает, что корней из единицы всегда ровно n, и все они различны.

Свойства[править | править вики-текст]

Геометрические свойства[править | править вики-текст]

  • Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица 1+i0.
  • Если u_k — корень из единицы, то сопряжённое к нему число \overline {u_k} — тоже корень из единицы.
  • Пусть M — произвольная точка единичной окружности. Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней из единицы равна 2n.

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

  • Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.
  • Корни из единицы образуют по умножению коммутативную группу. В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица.
  • Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов \mathbb{Z}_n. Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент u_k, индекс k которого взаимно прост с n.
    • Следствия:
      • элемент u_1 всегда является первообразным;
      • если n — простое число, то степени любого корня, кроме \pm 1, охватывают всю группу;
      • число первообразных корней равно \varphi (n), где \varphiфункция Эйлера.
  • Если n > 1, то для суммы степеней любого первообразного корня из единицы u имеет место формула:
\sum_{k=0}^{n-1} u^k = \frac{u^n - 1}{u - 1} = 0 .
  • \prod_{k=1}^{n-1} |1-u_k| = n \qquad (n > 1)
Кубические корни из единицы

Примеры[править | править вики-текст]

Кубические корни из единицы:

\left\{1;\ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2};\ \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}

Корни 4-й степени из единицы:

\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i \right\}

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента:

\left\{e^{2 \pi i k\over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}i \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два:

\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\} .

Круговые поля[править | править вики-текст]

Круговое поле, или поле деления круга степени n (англ. Cyclotomic field) — это поле K_n = \mathbb {Q}(u), порождённое присоединением к полю рациональных чисел \mathbb {Q} первообразного корня n-й степени из единицы u. Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: K_3 состоит из комплексных чисел вида a+b \sqrt{3}\ i, где a, b — рациональные числа.

Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Обобщения[править | править вики-текст]

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля K как решения уравнения ~x^n=1, где 1 — единица поля K. Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля K. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля K состоит из корней из единицы и является циклической.

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы тривиальна (содержит только единицу поля).

История[править | править вики-текст]

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=0

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение только если n может быть представлено в виде ~2^{2^r}+1. Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год)[2].

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа[3].

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дискретное_преобразование_фурье
  2. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 87—89, 380.. — 468 с.
  3. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра, стр. 150—155 и далее.