Модель Изинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Статистическая физика
S = k_B \, \ln\Omega
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория
См. также: Портал:Физика

Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.

Описание[править | править исходный текст]

Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из 2^N возможных вариантов расположения спинов (где N — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:

E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j \, ,

где J — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле h (часто полагаемое малым):

E(S) = - J \sum_{i\sim j} S_i S_j - h \sum_i S_i. \,

Затем, для заданной обратной температуры  \beta=1/k_B T на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Гиббса: вероятность конфигурации полагается пропорциональной  e^{-\beta E(S)} \, , и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов N.

Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход второго рода: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (J>0) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые критические индексы расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах Онсагером. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования, ренормгруппы. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются блочное построение Каданова и термодинамическая гипотеза подобия.

Введенная изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стеклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т.д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.

Одномерная модель Изинга[править | править исходный текст]

В случае одного измерения модель Изинга может быть представлена в виде цепочки взаимодействующих спинов. Для такой модели найдено точное решение, но в общем случае задача не имеет аналитического решения.

Алгоритм реализации модели Изинга методом Монте-Карло на компьютере[править | править исходный текст]

  1. Создать решётку спинов (двумерный массив), спины ориентированы произвольно.
  2. Выбрать случайно одну из клеток решётки, стереть значение в ней.
  3. Вычислить энергии конфигураций при заполнении этой клетки спином вверх и вниз (либо при всех возможных состояниях, если их больше двух).
  4. Выбрать один из вариантов для «стёртого» спина случайно, с вероятностью, пропорциональной e^{-\beta E(S)} \,, где  E(S) — энергия в соответствующем состоянии. (Поскольку все слагаемые, не затрагивающие данный спин, одни и те же, на самом деле вычислять нужно только суммы по соседям).
  5. Возвращаемся в пункт 2; по выполнении достаточного числа итераций (определение этого — отдельная и непростая задача) цикл прекращается.

Приложения[править | править исходный текст]

В 1982 году Хопфилдом был доказан изоморфизм модели Изинга и рекуррентных моделей нейронных сетей[1].

Квантовый компьютер компании DWave Sys. основан на модели Изинга.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

Комментарии[править | править исходный текст]

Источники[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Книги[править | править исходный текст]

Научные статьи[править | править исходный текст]