Формулы Ньютона — Котса

Формула Ньютона – Котса для $n=2$

Формулы Ньютона – Котса, называемые также правилами квадратуры Ньютона – Котса или просто правилами Ньютона – Котса, – это группа формул для численного интегрирования (называемых также квадратурами), основанных на вычислении интегрируемой функции в одинаково отстоящих друг от друга точках. Формулы названы именами Исаака Ньютона и Роджера Котса.

Формулы Ньютона – Котса полезны, когда заданы значения интегрируемой функции на точках, отстоящих друг от друга на одинаковом расстоянии. Если можно менять положение точек, могут оказаться более пригодными другие методы, такие как Метод Гаусса и Квадратурный метод Кленшоу — Кёртиса,.

Описание

Предполагается, что значения функции f определены на отрезке $[a,b]$ и известны в $n+1$ точках $a\leqslant x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leqslant b$, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга. Имеется два класса квадратур Ньютона – Котса. Один называется «замкнутыми» квадратурами, если $x_{0}=a$ и $x_{n}=b$, то есть используются значения функции на границах интервала, другой называется «открытыми» квадратурами, если $x_{0}>a$ и $x_{n}<b$, то есть значения функции в крайних точках интервала не используются. Формулы Ньютона – Котса, использующие $n+1$ точек, могут быть определены (для обоих случаев) как.

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i})$

где

• для замкнутой формулы $x_{i}=a+ih$ с $h={\frac {b-a}{n}}$,
• для открытой формулы $x_{i}=a+(i+1)h$ с $h={\frac {b-a}{n+2}}$.

Число h называется размером шага, $w_{i}$ называются весами.

Веса можно вычислить как интегралы от базисных многочленов Лагранжа. Они зависят только от $x_{i}$ и не от функции f.

Пусть $L(x)$ будет интерполяционным многочленом в форме Лагранжа для заданных точек $(x_{0},f(x_{0})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))$, тогда

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.$

Нестабильность для высоких степеней

Можно построить формулы Ньютона – Котса любой степени n. Однако, для больших n правило Ньютона – Котса может иногда страдать от катастрофического феномена Рунге, где ошибка растёт экспоненциально для больших n. Методы, такие как квадратура Гаусса или квадратура Кленшоу — Кёртиса с неравными расстояниями между точками (имеющими бо́льшую плотность на концах интервала интегрирования) устойчивы и много более точны, а потому обычно более предпочтительны, чем квадратура Ньютона – Котса. Если эти методы нельзя использовать, то есть, если значения интегрируемого выражения заданы только в фиксированной сетке с одинаковыми расстояниями, можно избежать феномена Рунге путём использования разбиения интервала как разъяснено ниже.

Также стабильные формулы Ньютона – Котса можно построить с помощью метода наименьших квадратов вместо интерполяции. Это позволяет построить численно устойчивые формулы даже для высоких степеней .

Замкнутые формулы Ньютона – Котса

Таблица перечисляет некоторые формулы Ньютона – Котса замкнутого типа. Для $0\leqslant i\leqslant n$ пусть $x_{i}=a+i{\tfrac {b-a}{n}}=a+ih$, а обозначение $f_{i}$ служит сокращением для $f(x_{i})$.

Замкнутые формулы Ньютона – Котса

n	Размер шага h	Общее название	Формула	Ошибка
1	$b-a$	Метод трапеций	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {b-a}{2}}$	Формула Симпсона	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {b-a}{3}}$	Формула Симпсона 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
4	${\frac {b-a}{4}}$	Правило Буля	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

Правило Буля иногда ошибочно называют правилом Боде как результат типографической опечатки в книге Абрамовица и Стиган.

Степень размера сегмента h в ошибке показывает скорость, с которой убывает ошибка аппроксимации. Порядок производной функции f в ошибке даёт наименьшую степень многочлена, которые не может быть вычислен точно (то есть с нулевой ошибкой) по этому правилу. Число $\xi$ должно быть взято из интервала (a,b).

Открытые формулы Ньютона – Котса

Таблица показывает некоторые формулы Ньютона – Котса открытого типа. Снова, $f_{i}$ служит сокращённой записью для $f(x_{i})$, где $x_{i}=a+i{\frac {b-a}{n+2}}$.

Открытые формулы Ньютона – Котса

n	Размер шага h	Общее название	Формула	Ошибка
0	${\frac {b-a}{2}}$	Сумма Римана или средняя сумма Римана	$2hf_{1}\,$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
1	${\frac {b-a}{3}}$		${\frac {3}{2}}h(f_{1}+f_{2})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {b-a}{4}}$	Формула Милна	${\frac {4}{3}}h(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {b-a}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$

Разбиение интервала

Чтобы правило Ньютона – Котса было точным, нужно чтобы размер шага h был мал, что означает, что интервал интегрирования $[a,b]$ сам был маленьким, что не так в большинстве случаев. По этой причине обычно осуществляется численное интегрирование путём разбиения интервала $[a,b]$ на меньшие подынтервалы, применение правила Ньютона – Котса на каждый подынтервал и сложение результатов. См. статью Численное интегрирование.

См. также

• Квадратура (математика)
• Интерполяция
• Кубический сплайн

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Newton–Cotes quadrature formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Newton–Cotes formulas on www.math-linux.com
• Weisstein, Eric W. Newton–Cotes Formulas (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com