Кубический сплайн

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Некоторая функция f(x) задана на отрезке [a,b], разбитом на части [x_{i-1},x_i], a=x_0< x_1< ... <x_N=b. Кубическим сплайном дефекта 1 называется функция S(x), которая:

  • на каждом отрезке [x_{i-1},x_i] является многочленом степени не выше третьей;
  • имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке [a,b];
  • в точках x_i выполняется равенство S(x_i) = f(x_i), т. е. сплайн S(x) интерполирует функцию f в точках x_i.

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования.

Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида:

S''(a) = S''(b) = 0.

Теорема: Для любой функции f и любого разбиения отрезка [a,b] существует ровно один естественный сплайн S(x), удовлетворяющий перечисленным выше условиям.

Эта теорема является следствием более общей теоремы Шёнберга-Уитни об условиях существования интерполяционного сплайна.

Построение[править | править вики-текст]

Обозначим: h_i = x_i - x_{i-1}

На каждом отрезке [x_{i - 1},x_{i}] функция S(x) есть полином третьей степени S_i(x), коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства S_i(x) в виде:

S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + {c_i\over2}(x-x_i)^2 + {d_i\over6}(x - x_i)^3 \,\!

тогда

S_i\left(x_i\right) = a_i, \quad S'_i(x_i) = b_i, \quad S''_i(x_i) = c_i \,\!

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде
S_i\left(x_{i-1}\right) = S_{i-1}(x_{i-1})
S'_i\left(x_{i-1}\right) = S'_{i-1}(x_{i-1})
S''_i\left(x_{i-1}\right) = S''_{i-1}(x_{i-1})
а условия интерполяции в виде

S_i\left(x_{i}\right) = f(x_{i})

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

a_i = f\left(x_{i}\right) \,\!
h_ic_{i-1} + 2(h_i + h_{i+1})c_i + h_{i+1}c_{i+1} =
6\left({{f_{i+1} - f_i}\over{h_{i+1}}} - {{f_{i} - f_{i-1}}\over{h_{i}}}\right) \,\!
d_i = {{c_i - c_{i-1}}\over{h_i}} \,\!
b_i = {1\over2}h_ic_i - {1\over6}h_i^2d_i + {{f_i - f_{i-1}}\over{h_i}}= {{f_i - f_{i-1}}\over{h_i}} + {{h_i(2c_i + c_{i-1})}\over6} \,\!

Если учесть, что c_0 = c_n = 0, то вычисление c можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

Реализация на языке C++

#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <limits>
 
class cubic_spline
{
private:
	// Структура, описывающая сплайн на каждом сегменте сетки
	struct spline_tuple
	{
		double a, b, c, d, x;
	};
 
	spline_tuple *splines; // Сплайн
	std::size_t n; // Количество узлов сетки
 
	void free_mem(); // Освобождение памяти
 
public:
	cubic_spline(); //конструктор
	~cubic_spline(); //деструктор
 
	// Построение сплайна
	// x - узлы сетки, должны быть упорядочены по возрастанию, кратные узлы запрещены
	// y - значения функции в узлах сетки
	// n - количество узлов сетки
	void build_spline(const double *x, const double *y, std::size_t n);
 
	// Вычисление значения интерполированной функции в произвольной точке
	double f(double x) const;
};
 
cubic_spline::cubic_spline() : splines(NULL)
{
 
}
 
cubic_spline::~cubic_spline()
{
	free_mem();
}
 
void cubic_spline::build_spline(const double *x, const double *y, std::size_t n)
{
	free_mem();
 
	this->n = n;
 
	// Инициализация массива сплайнов
	splines = new spline_tuple[n];
	for (std::size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		splines[i].x = x[i];
		splines[i].a = y[i];
	}
	splines[0].c = 0.;
 
	// Решение СЛАУ относительно коэффициентов сплайнов c[i] методом прогонки для трехдиагональных матриц
	// Вычисление прогоночных коэффициентов - прямой ход метода прогонки
	double *alpha = new double[n - 1];
	double *beta = new double[n - 1];
	double A, B, C, F, h_i, h_i1, z;
	alpha[0] = beta[0] = 0.;
	for (std::size_t i = 1; i < n - 1; ++i)
	{
		h_i = x[i] - x[i - 1], h_i1 = x[i + 1] - x[i];
		A = h_i;
		C = 2. * (h_i + h_i1);
		B = h_i1;
		F = 6. * ((y[i + 1] - y[i]) / h_i1 - (y[i] - y[i - 1]) / h_i);
		z = (A * alpha[i - 1] + C);
		alpha[i] = -B / z;
		beta[i] = (F - A * beta[i - 1]) / z;
	}
 
	splines[n - 1].c = (F - A * beta[n - 2]) / (C + A * alpha[n - 2]);
 
	// Нахождение решения - обратный ход метода прогонки
	for (std::size_t i = n - 2; i > 0; --i)
		splines[i].c = alpha[i] * splines[i + 1].c + beta[i];
 
	// Освобождение памяти, занимаемой прогоночными коэффициентами
	delete[] beta;
	delete[] alpha;
 
	// По известным коэффициентам c[i] находим значения b[i] и d[i]
	for (std::size_t i = n - 1; i > 0; --i)
	{
		double h_i = x[i] - x[i - 1];
		splines[i].d = (splines[i].c - splines[i - 1].c) / h_i;
		splines[i].b = h_i * (2. * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6. + (y[i] - y[i - 1]) / h_i;
	}
}
 
double cubic_spline::f(double x) const
{
	if (!splines)
		return std::numeric_limits<double>::quiet_NaN(); // Если сплайны ещё не построены - возвращаем NaN
 
	spline_tuple *s;
	if (x <= splines[0].x) // Если x меньше точки сетки x[0] - пользуемся первым эл-том массива
		s = splines + 1;
	else if (x >= splines[n - 1].x) // Если x больше точки сетки x[n - 1] - пользуемся последним эл-том массива
		s = splines + n - 1;
	else // Иначе x лежит между граничными точками сетки - производим бинарный поиск нужного эл-та массива
	{
		std::size_t i = 0, j = n - 1;
		while (i + 1 < j)
		{
			std::size_t k = i + (j - i) / 2;
			if (x <= splines[k].x)
				j = k;
			else
				i = k;
		}
		s = splines + j;
	}
 
	double dx = (x - s->x);
	return s->a + (s->b + (s->c / 2. + s->d * dx / 6.) * dx) * dx; // Вычисляем значение сплайна в заданной точке.
}
 
void cubic_spline::free_mem()
{
	delete[] splines;
	splines = NULL;
}

Реализация на языке C# Платформа .NET

// Интерполирование функций естественными кубическими сплайнами
 
using System;
 
class CubicSpline
{
    SplineTuple[] splines; // Сплайн
 
    // Структура, описывающая сплайн на каждом сегменте сетки
    private struct SplineTuple
    {
        public double a, b, c, d, x;
    }
 
    // Построение сплайна
    // x - узлы сетки, должны быть упорядочены по возрастанию, кратные узлы запрещены
    // y - значения функции в узлах сетки
    // n - количество узлов сетки
    public void BuildSpline(double[] x, double[] y, int n)
    {
        // Инициализация массива сплайнов
        splines = new SplineTuple[n];
        for (int i = 0; i < n; ++i)
        {
            splines[i].x = x[i];
            splines[i].a = y[i];
        }
        splines[0].c = splines[n - 1].c = 0.0;
 
        // Решение СЛАУ относительно коэффициентов сплайнов c[i] методом прогонки для трехдиагональных матриц
        // Вычисление прогоночных коэффициентов - прямой ход метода прогонки
        double[] alpha = new double[n - 1];
        double[] beta  = new double[n - 1];
        alpha[0] = beta[0] = 0.0;
        for (int i = 1; i < n - 1; ++i)
        {
            double hi  = x[i] - x[i - 1];
            double hi1 = x[i + 1] - x[i];
            double A = hi;
            double C = 2.0 * (hi + hi1);
            double B = hi1;
            double F = 6.0 * ((y[i + 1] - y[i]) / hi1 - (y[i] - y[i - 1]) / hi);
            double z = (A * alpha[i - 1] + C);
            alpha[i] = -B / z;
            beta[i] = (F - A * beta[i - 1]) / z;
        }
 
        // Нахождение решения - обратный ход метода прогонки
        for (int i = n - 2; i > 0; --i)
        {
            splines[i].c = alpha[i] * splines[i + 1].c + beta[i];
        }
 
        // По известным коэффициентам c[i] находим значения b[i] и d[i]
        for (int i = n - 1; i > 0; --i)
        {
            double hi = x[i] - x[i - 1];
            splines[i].d = (splines[i].c - splines[i - 1].c) / hi;
            splines[i].b = hi * (2.0 * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6.0 + (y[i] - y[i - 1]) / hi;
        }
    }
 
    // Вычисление значения интерполированной функции в произвольной точке
    public double Interpolate(double x)
    {
        if (splines == null)
        {
            return double.NaN; // Если сплайны ещё не построены - возвращаем NaN
        }
 
        int n = splines.Length;
        SplineTuple s;
 
        if (x <= splines[0].x) // Если x меньше точки сетки x[0] - пользуемся первым эл-тов массива
        {
            s = splines[0];
        }
        else if (x >= splines[n - 1].x) // Если x больше точки сетки x[n - 1] - пользуемся последним эл-том массива
        {
            s = splines[n - 1];
        }
        else // Иначе x лежит между граничными точками сетки - производим бинарный поиск нужного эл-та массива
        {
            int i = 0;
            int j = n - 1;
            while (i + 1 < j)
            {
                int k = i + (j - i) / 2;
                if (x <= splines[k].x)
                {
                    j = k;
                }
                else
                {
                    i = k;
                }
            }
            s = splines[j];
        }
 
        double dx = x - s.x;
        // Вычисляем значение сплайна в заданной точке по схеме Горнера (в принципе, "умный" компилятор применил бы схему Горнера сам, но ведь не все так умны, как кажутся)
        return s.a + (s.b + (s.c / 2.0 + s.d * dx / 6.0) * dx) * dx; 
    }
}


Python 2.7, шаг постоянный

from collections import defaultdict
from matplotlib import mlab
import bisect, pylab, math
 
def drange(start, stop, step):
    while start < stop: yield start; start += step;
 
class Dot:
    def __init__(self, x, y): self.x, self.y = [x, y]
 
class Tuple: a, b, c, d, x = [0., 0., 0., 0., 0.]
 
def buildSpline(dots):
    for i in range(len(dots)): splines[i].x, splines[i].a = dots[i].x, dots[i].y
 
    alpha, beta = [defaultdict(lambda: 0.), defaultdict(lambda: 0.)]
 
    for i in range(1, len(dots)-1):
        C = 4. * in_step
        F = 6. * ((dots[i + 1].y - dots[i].y) / in_step - (dots[i].y - dots[i - 1].y) / in_step)
        z = (in_step* alpha[i - 1] + C)
        alpha[i] = -in_step / z
        beta[i] = (F - in_step* beta[i - 1]) / z
 
    for i in reversed(range(1, len(dots) - 1)): splines[i].c = alpha[i] * splines[i+1].c + beta[i]
 
    for i in reversed(range(1, len(dots))):
        hi = dots[i].x - dots[i-1].x
        splines[i].d = (splines[i].c - splines[i-1].c) / hi
        splines[i].b = hi * (2.0 * splines[i].c + splines[i - 1].c) / 6.0 + (dots[i].y - dots[i-1].y) / hi
 
def calc(x):
    distribution = sorted([t[1].x for t in splines.items()])
    indx = bisect.bisect_left(distribution, x)
    if indx == len(distribution): return 0
    dx = x - splines[indx].x
    return splines[indx].a + splines[indx].b * dx + splines[indx].c * dx**2 / 2. + splines[indx].d * dx**3 / 6.
#============================================
 
in_func =  lambda x:  math.sin(x)
in_min_x = 0
in_max_x = 25 
in_step = 2.5
 
out_min_x = 0
out_max_x = 25
out_step = 0.1
 
#============================================
 
#build model
splines = defaultdict(lambda: Tuple())
buildSpline(map(lambda x: Dot(x, in_func(x)), [x for x in drange(in_min_x, in_max_x+1, in_step)]))
 
#print result
for x in drange(out_min_x, out_max_x, out_step):
    print str(x) + ';' + str(calc(x))
 
#build graphics
xlist = mlab.frange (out_min_x, out_max_x, out_step)
pylab.plot(xlist, [calc(x) for x in xlist])
pylab.plot(xlist, [in_func(x) for x in xlist])
pylab.show()

Литература[править | править вики-текст]

  • Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
  • Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам.
  • Волков Е. А. Глава 1. Приближение функций многочленами. § 11. Сплайны // Численные методы. — Учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., испр.. — М.: Наука, 1987. — С. 63-68. — 248 с.

Ссылки[править | править вики-текст]