Метод трапеций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Аппроксимация функции линейной зависимостью при интегрировании методом трапеций

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок \left[ a, b \right]\,\! является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

\int^b_a f(x)\,dx = \frac{ f(a) + f(b) }{2} (b - a) + E(f), \qquad E(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} \left( b-a \right)^3.

Это простое применение формулы для площади трапеции — произведение полусуммы оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

~\left| E(f) \right| \leqslant \frac{\left( b-a \right)^3}{12} \max_{x \in [a, b]} \left| f''(x) \right|\,.

Составная формула[править | править вики-текст]

Применение составной формулы трапеций

Если отрезок \left[ a, b \right]\,\! разбивается узлами интегрирования и на каждом из элементарных отрезков применяется формула трапеций, то суммирование даст составную формулу трапеций

\int^b_a f(x)\,dx \approx \sum_{i=0}^{n-1} \frac{ f(x_i) + f(x_{i+1}) }{2} (x_{i+1} - x_{i}) =
= \frac{f(a)}{2} (x_1 - a) + \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) \frac{ x_{i+1} - x_{i-1} } {2} + \frac{f(b)}{2} (b - x_{n-1}).

Формула Котеса[править | править вики-текст]

Применение формулы трапеций для равномерной сетки

В случае равномерной сетки

\int^b_a f(x)\,dx = h \left( \frac{f_0 + f_n}{2} + \sum_{i=1}^{n-1} f_i \right) + E_n(f),
E_n(f) = - \frac{f''(\xi)}{12} (b - a) h^2.

где h\,\! — шаг сетки.

Cвойства[править | править вики-текст]

  • Метод трапеций быстро сходится к точному значению интеграла для периодических функций, поскольку погрешность за период аннулируется.
  • Метод может быть получен путём вычисления среднего арифметического между результатами применения формул правых и левых прямоугольников.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 2. — Физ-Мат. Лит., 1963. — С. 659.