Формула Симпсона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Суть метода — аппроксимация функции f (x) (синий график) квадратичным полиномом P (x) (красный)

Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a,b]\,\! интерполяционным многочленом второй степени p_2(x)\,\!, то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Формула[править | править вики-текст]

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:


     {\int\limits_a^b
           f(x)
       dx} \approx {\int\limits_{a}^{b}
                   {p_2(x)} 
              dx} =
          \frac{b-a}{6}{
              \left(
                 f(a) + 4 f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)
              \right)},

где f(a), f((a+b)/2) и f(b) — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Погрешность[править | править вики-текст]

При условии, что у функции f(x) на отрезке [a,b] существует четвёртая производная, погрешность E(f), согласно найденной Джузеппе Пеано формуле, равна:

E(f) = - \frac{(b-a)^5}{2880}{{f^{(4)}(\zeta)}}, \ \ \ \zeta \in [a,b].

В связи с тем, что значение \zeta зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

\left| E(f) \right| \leqslant \frac{(b-a)^5}{2880} \max\limits_{x\in[a,b]} {\left| f^{(4)}(x) \right|}.

Представление в виде метода Рунге-Кутты[править | править вики-текст]

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

\begin{array}{c|ccc}
0           &&&\\
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} &&\\
1           & -1          & 2&\\
\hline      & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{6}
\end{array}

Составная формула (формула Котеса)[править | править вики-текст]

Для более точного вычисления интеграла, интервал [a,b] разбивают на N отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

\int_a^b f(x) \, dx\approx 
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+
4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n)
\bigg],
где h = \frac{b-a}{N} — величина шага, а x_k=a+k h\,\! — узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок [a,b]\,\! разбит на 2N\,\! узлов) в виде
\int_a^b f(x) \, dx\approx
\frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+2f(x_4)+\cdots+4f(x_{n-1})+f(x_n)\bigg].

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

 {\int\limits_a^b f(x) dx} \approx \frac{h}{3} \cdot \sum_{k=1,2}^{N-1} \left( f(x_{k-1})+4f(x_k)+f(x_{k+1}) \right)
где k=1,2 означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой.

Общая погрешность E(f) при интегрировании по отрезку [a,b]\,\! с шагом x_i - x_{i-1} = h (при этом, в частности,  x_0 = a,   x_N = b ) определяется по формуле[2]:

\left| E(f) \right| \leqslant \frac{(b-a)}{2880}h^4 \max\limits_{x\in[a,b]} |f^{(4)} (x)| .

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

\left| E(f) \right| \leqslant \frac{(b-a)}{288}h^3 \max\limits_{x\in[a,b]} |f^{(3)} (x)| .

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Формула Ньютона-Симпсона
  2. Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. — 4-е изд. — М: БИНОМ, Лаборатория знаний, 2006. — С. 122. — 636 с. — ISBN 5-94774-396-5

Литература[править | править вики-текст]

  • Костомаров Д. П., Фаворский А. П. «Вводные лекции по численным методам»
  • Петров И. Б., Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике