Адиабатический инвариант

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном, «адиабатическом», изменении некоторых параметров физической системы. Адиабатичнисть изменения параметра означает, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе.

Классическая механика

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом T и зависит от параметра λ, адиабатичность изменения параметра определяется условием

$T \frac{d\lambda}{dt} << \lambda$.

Функция Гамильтона системы зависит от ее внутренних переменных и параметра

$\mathcal{H} = \mathcal{H}(q, p, t, \lambda)$

Внутренние переменные q и p меняются со временем быстро, с периодом T. Но энергия системы E является интегралом движения при неизменном параметре λ. При изменении параметра во времени

$\frac{dE}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt}$.

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр λ неизменен.

$\overline{\frac{dE}{dt}} = \frac{d\lambda}{dt} \overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}}$,

где усреднение определено как

$\overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}} = \frac{1}{T} \int\limits_0^T \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} dt$.

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной q:

$dt = \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p}$.

В таком случае период T равен

$T = \oint \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p}$,

где интегрирование проводится вперед и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс, как функцию энергии E, координаты q и параметра, после некоторых преобразований можно получить

$\oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{\frac{\partial E}{\partial t}} + \frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt} \right) dq = 0$.

Окончательно, можно записать

$\overline{\frac{dI}{dt}} = 0$,

где величина

$I = \frac{1}{2\pi} \oint pdq$,

и будет адиабатическим инвариантом. Интеграл берется по траектории движения при заданных E и λ

Свойства адиабатического инварианта

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделенном на 2π .

$2\pi \frac{\partial I}{dE} = T$

или

$\frac{\partial E}{\partial I} = \omega$,

где ω — циклическая частота.

Адиабатический инвариант можно также выразить через площадь, ограниченную замкнутой траектории в фазовом пространстве

$I = \frac{1}{2\pi} \int dp dq$.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.