Адиабатический инвариант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Адиабатический инвариант — физическая величина, которая не меняется при плавном, «адиабатическом», изменении некоторых параметров физической системы. Адиабатичность изменения параметра означает, что характерное время этого изменения гораздо больше характерного времени процессов, происходящих в самой системе[1].

Классическая механика[править | править исходный текст]

В классической механической системе, которая осуществляет периодическое движение с периодом T и зависит от параметра λ, адиабатичность изменения параметра определяется условием

 T \frac{d\lambda}{dt} << \lambda .

Функция Гамильтона системы зависит от ее внутренних переменных и параметра

 \mathcal{H} = \mathcal{H}(q, p, t, \lambda)

Внутренние переменные q и p меняются со временем быстро, с периодом T. Но энергия системы E является интегралом движения при неизменном параметре λ. При изменении параметра во времени

 \frac{dE}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt} .

При усреднении этого выражения по времени в течение периода можно считать, что параметр λ неизменен.

 \overline{\frac{dE}{dt}} = \frac{d\lambda}{dt} \overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}}  ,

где усреднение определено как

 \overline{\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda}} = \frac{1}{T} \int\limits_0^T \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \lambda} dt .

Удобно перейти от интегрирования по времени к интегрированию по переменной q:

 dt = \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p} .

В таком случае период T равен

 T = \oint \frac{dq}{\partial \mathcal{H}/\partial p} ,

где интегрирование проводится вперед и назад в пределах изменения координаты за период движения.

Записывая импульс, как функцию энергии E, координаты q и параметра, после некоторых преобразований можно получить

 \oint \left( \frac{\partial p}{\partial E} \overline{\frac{\partial E}{\partial t}} + \frac{\partial p}{\partial \lambda} \frac{d\lambda}{dt} \right) dq = 0 .

Окончательно, можно записать

 \overline{\frac{dI}{dt}} = 0 ,

где величина

 I = \frac{1}{2\pi} \oint pdq,

и будет адиабатическим инвариантом.

Интеграл, входящий в полученное выражение, приобретает простой геометрический смысл, если обратиться к представлению о фазовом пространстве и фазовой траектории системы в нём. В рассматриваемом случае система имеет одну степень свободы, поэтому фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, образуемую множеством точек с координатами p и q. Поскольку система совершает периодическое движение, то её фазовая траектория[2] является замкнутой кривой на этой плоскости, соответственно, интеграл берётся вдоль этой замкнутой кривой. В итоге следует, что интеграл  \oint pdq равен площади фигуры, ограниченной фазовой траекторией системы.

Площадь можно выразить и в виде двумерного интеграла, тогда для адиабатического инварианта будет выполняться

 I = \frac{1}{2\pi} \int dp dq.

Пример. Гармонический осциллятор[править | править исходный текст]

Рассмотрим в качестве примера одномерный гармонический осциллятор. Функция Гамильтона такого осциллятора имеет вид

H=\frac{p^2}{2m}+ \frac{m\omega^2 q^2}{2},

где \omega — собственная (циклическая) частота осциллятора. Уравнение фазовой траектории в данном случае определяется законом сохранения энергии H(p,q)=E и поэтому имеет вид

\frac{p^2}{2m}+ \frac{m\omega^2 q^2}{2}=E.

Из уравнения видно, что траектория представляет собой эллипс с полуосями \sqrt{2mE} и \sqrt{2E/m\omega^2}, соответственно его площадь, делённая на 2 \pi , равна  \frac{E}{\omega}. Таким образом, величина I = \frac{E}{\omega} является адиабатическим инвариантом для гармонического осциллятора. Отсюда следует, что в тех случаях, когда параметры осциллятора изменяются медленно, его энергия изменяется пропорционально частоте.

Свойства адиабатического инварианта[править | править исходный текст]

Производная от адиабатического инварианта по энергии равна периоду, разделенном на 2π .

 2\pi \frac{\partial I}{dE} = T

или

 \frac{\partial E}{\partial I} = \omega ,

где ω — циклическая частота.

С помощью канонических преобразований можно сделать адиабатический инвариант новой переменной, которая называется переменной действия. В новой системе переменных она играет роль импульса. Канонически сопряженная к ней переменная называется угловой переменной.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Дыхне А. М. Адиабатические инварианты // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. Ааронова—Бома эффект — Длинные линии. — С. 26. — 704 с. — 100 000 экз.
  2. Фазовая траектория — совокупность точек с координатами, равными значениям, которые принимают величины p и q в процессе движения системы.

Литература[править | править исходный текст]

  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 199-202. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9