Импульс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Импульс
\vec p = m\vec v
Размерность

LMT−1

Единицы измерения
СИ

кг·м/с

СГС

г·см/с

Примечания

векторная величина

И́мпульс (Коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

\vec p=m\vec v.

В более общем виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

Импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

История появления термина[править | править вики-текст]

В XIV веке Жан Буридан изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с большим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1668 году использовали её для абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Джон Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус»[1]. В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Определение импульса в механике Ньютона[править | править вики-текст]

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

\vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i,

соответственно величина \vec p_i=m_i \vec{v}_i называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

\vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

\frac{d\vec p}{dt}=0. (*)

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

\vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},

где mi — масса i-й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

p_{\mu}=(E/c,\vec p)=\left(\frac{m_0 c}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},\frac{m_0 \vec v}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}\right).

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

E^2-\mathbf{p}^2c^2=m^2c^4~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{p} =   \frac{E}{c^2}\, \mathbf{v}.

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Обобщённый импульс в теоретической механике[править | править вики-текст]

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

 p_i = {{\partial {\mathcal L}} \over {\partial \dot{q}_i}}.

В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа dp_i/dt=0\,\!.

Для свободной частицы в релятивистской механике функция Лагранжа имеет вид: \mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}, отсюда:

\vec {p}= \frac{m \vec {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

Обобщённый импульс в электромагнитном поле[править | править вики-текст]

В электромагнитном поле полный импульс частицы и поля равен:

\mathbf {p} = \frac{m \mathbf {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}} + q \mathbf A

где \mathbf A — векторный потенциал электромагнитного поля.

Формальное определение импульса[править | править вики-текст]

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (инвариант относительно трансляций).

Импульс электромагнитного поля[править | править вики-текст]

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

 \mathbf p = \frac{1}{c^2}\int \mathbf S dV = \frac{1}{c^2} \int [\mathbf E \times \mathbf H] dV (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление, как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике[править | править вики-текст]

Формальное определение[править | править вики-текст]

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

\hat{\mathbf{P}}=\sum_j\hat{\mathbf{p}}_j=\sum_j -i\hbar\nabla_j

где \nabla_j — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам j-ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

\hat{H} = \sum_i \frac{1}{2m_i}\hat{\mathbf{p}}_i^2 + U(\mathbf{r_1},\dots)

Для замкнутой системы (U = 0) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля[править | править вики-текст]

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны \lambda:

p = \frac h \lambda

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью ~v\ll c (скорости света), модуль импульса равен ~p=mv (где ~m — масса частицы), и

~\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}.

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

\vec p = \frac h {2 \pi} \vec k = \hbar \vec k,

где \vec k — волновой вектор, h — постоянная Планка.

Импульс в гидродинамике[править | править вики-текст]

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа \ \rho. А вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

\vec p = \rho\vec v.

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путем осреднения уравнений Навье-Стокса[2]. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить \ \rho = \overline {\rho} + \rho' , \ \vec v = \overline {\vec v} + \vec v' , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

\ \overline{\vec p} =  \overline{\rho \vec v}=\overline{\rho}~\overline{ \vec v} + \vec S ,

где \ \vec S = \overline{\rho' \vec v'}  — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса»[2]).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.
  2. 1 2 Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]