Алгоритм Дейкстры
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%94%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B.pdf/page1-199px-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%94%D0%B5%D0%B9%D0%BA%D1%81%D1%82%D1%80%D1%8B.pdf.jpg)
Алгори́тм Де́йкстры (англ. Dijkstra’s algorithm) — алгоритм на графах, изобретённый нидерландским учёным Эдсгером Дейкстрой в 1959 году. Находит кратчайшие пути от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса. Алгоритм широко применяется в программировании, например, его используют протоколы маршрутизации OSPF и IS-IS.
Формулировка задачи
[править | править код]Примеры
[править | править код]Вариант 1. Дана сеть автомобильных дорог, соединяющих города Московской области. Некоторые дороги односторонние. Найти кратчайшие пути от города А до каждого города области (если двигаться можно только по дорогам).
Вариант 2. Имеется некоторое количество авиарейсов между городами мира, для каждого известна стоимость. Стоимость перелёта из A в B может быть не равна стоимости перелёта из B в A. Найти маршрут минимальной стоимости (возможно, с пересадками) от Копенгагена до Барнаула.
Формальное определение
[править | править код]Дан взвешенный ориентированный[1] граф без дуг отрицательного веса[2]. Найти кратчайшие пути от некоторой вершины графа до всех остальных вершин этого графа.
Неформальное объяснение
[править | править код]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/57/Dijkstra_Animation.gif)
Каждой вершине из множества вершин V сопоставим метку — минимальное известное расстояние от этой вершины до стартовой вершины a.
Алгоритм работает пошагово — на каждом шаге он «посещает» одну вершину и пытается уменьшать метки.
Работа алгоритма завершается, когда все вершины посещены.
Инициализация.
Метка самой вершины a полагается равной 0, метки остальных вершин — бесконечности.
Это отражает то, что расстояния от a до других вершин пока неизвестны.
Все вершины графа помечаются как непосещённые.
Шаг алгоритма.
Если все вершины посещены, алгоритм завершается.
В противном случае, из ещё не посещённых вершин выбирается вершина u, имеющая минимальную метку.
Мы рассматриваем все возможные маршруты, в которых u является предпоследним пунктом. Вершины, в которые ведут рёбра из u, назовём соседями этой вершины. Для каждого соседа вершины u, кроме отмеченных как посещённые, рассмотрим новую длину пути, равную сумме значений текущей метки u и длины ребра, соединяющего u с этим соседом.
Если полученное значение длины меньше значения метки соседа, заменим значение метки полученным значением длины. Рассмотрев всех соседей, пометим вершину u как посещённую и повторим шаг алгоритма.
Пример
[править | править код]Рассмотрим выполнение алгоритма на примере графа, показанного на рисунке.
Пусть требуется найти кратчайшие расстояния от 1-й вершины до всех остальных.
Кружками обозначены вершины, линиями — пути между ними (рёбра графа).
В кружках обозначены номера вершин, над рёбрами обозначен их вес — длина пути.
Рядом с каждой вершиной красным обозначена метка — длина кратчайшего пути в эту вершину из вершины 1.
Первый шаг.
Минимальную метку имеет вершина 1. Её соседями являются вершины 2, 3 и 6.
Первый по очереди сосед вершины 1 — вершина 2, потому что длина пути до неё минимальна.
Длина пути в неё через вершину 1 равна сумме значения метки вершины 1 и длины ребра, идущего из 1-й в 2-ю, то есть 0 + 7 = 7.
Это меньше текущей метки вершины 2, бесконечности, поэтому новая метка 2-й вершины равна 7.
Аналогичную операцию проделываем с двумя другими соседями 1-й вершины — 3-й и 6-й.
Все соседи вершины 1 проверены.
Текущее минимальное расстояние до вершины 1 считается окончательным и пересмотру не подлежит.
Вычеркнем её из графа, чтобы отметить, что эта вершина посещена.
Второй шаг.
Снова находим «ближайшую» из непосещённых вершин. Это вершина 2 с меткой 7.
Снова пытаемся уменьшить метки соседей выбранной вершины, пытаясь пройти в них через 2-ю вершину. Соседями вершины 2 являются вершины 1, 3 и 4.
Первый (по порядку) сосед вершины 2 — вершина 1. Но она уже посещена, поэтому с 1-й вершиной ничего не делаем.
Следующий сосед — вершина 3, так как имеет минимальную метку.
Если идти в неё через 2, то длина такого пути будет равна 17 (7 + 10 = 17). Но текущая метка третьей вершины равна 9, а это меньше 17, поэтому метка не меняется.
Ещё один сосед вершины 2 — вершина 4.
Если идти в неё через 2-ю, то длина такого пути будет равна сумме кратчайшего расстояния до 2-й вершины и расстояния между вершинами 2 и 4, то есть 22 (7 + 15 = 22).
Поскольку 22<, устанавливаем метку вершины 4 равной 22.
Все соседи вершины 2 просмотрены, замораживаем расстояние до неё и помечаем её как посещённую.
Третий шаг.
Повторяем шаг алгоритма, выбрав вершину 3. После её «обработки» получим такие результаты:
Дальнейшие шаги.
Повторяем шаг алгоритма для оставшихся вершин. Это будут вершины 6, 4 и 5, соответственно порядку.
Завершение выполнения алгоритма.
Алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены.
Результат работы алгоритма виден на последнем рисунке: кратчайший путь от вершины 1 до 2-й составляет 7, до 3-й — 9, до 4-й — 20, до 5-й — 20, до 6-й — 11.
Если в какой-то момент все непосещённые вершины помечены бесконечностью, то это значит, что до этих вершин нельзя добраться (то есть граф несвязный). Тогда алгоритм может быть завершён досрочно.
Алгоритм
[править | править код]Обозначения
[править | править код]- — множество вершин графа
- — множество рёбер графа
- — вес (длина) ребра
- — вершина, расстояния от которой ищутся
- — множество посещённых вершин
- — по окончании работы алгоритма равно длине кратчайшего пути из до вершины
- — по окончании работы алгоритма содержит кратчайший путь из в
- — текущая вершина, рассматриваемая алгоритмом
Код реализации алгоритма
[править | править код]Ниже приведён код реализации алгоритма на языке программирования Java. Данный вариант реализации не является лучшим, но наглядно показывает возможную реализацию алгоритма:
class Dijkstra {
double[] dist = new double[GV()];
Edge[] pred = new Edge[GV()];
public Dijkstra(WeightedDigraph G, int s) {
boolean[] marked = new boolean[GV()];
for (int v = 0; v <GV(); v++)
dist[v] = Double.POSITIVE_INFINITY;
MinPQplus<Double, Integer> pq;
pq = new MinPQplus<Double, Integer>(); \\Priority Queue
dist[s] = 0.0;
pq.put(dist[s], s);
while (!pq.isEmpty()) {
int v = pq.delMin();
if (marked[v]) continue;
marked(v) = true;
for (Edge e (v)) {
int w = e.to();
if (dist[w]> dist[v] + e.weight()) {
dist[w] = dist[v] + e.weight();
pred[w] = e;
pq.insert(dist[w], w);
}
}
}
}
}
Присвоим
Для всех отличных от присвоим .
Пока . Пусть — вершина с минимальным занесём в
Для всех таких, что
Если то
Изменим
Изменим
Описание
[править | править код]В простейшей реализации для хранения чисел d[i] можно использовать массив чисел, а для хранения принадлежности элемента множеству U — массив булевых переменных.
В начале алгоритма расстояние для начальной вершины полагается равным нулю, а все остальные расстояния заполняются большим положительным числом (бо́льшим максимального возможного пути в графе). Массив флагов заполняется нулями. Затем запускается основной цикл.
На каждом шаге цикла мы ищем вершину с минимальным расстоянием и флагом равным нулю. Затем мы устанавливаем в ней флаг в 1 и проверяем все соседние с ней вершины . Если в них (в ) расстояние больше, чем сумма расстояния до текущей вершины и длины ребра, то уменьшаем его. Цикл завершается, когда флаги всех вершин становятся равны 1, либо когда у всех вершин c флагом 0 . Последний случай возможен тогда и только тогда, когда граф G несвязный.
Доказательство корректности
[править | править код]Пусть — длина кратчайшего пути из вершины в вершину . Докажем по индукции, что в момент посещения любой вершины выполняется равенство .
База. Первой посещается вершина . В этот момент .
Шаг. Пусть мы выбрали для посещения вершину . Докажем, что в этот момент . Для начала отметим, что для любой вершины всегда выполняется (алгоритм не может найти путь короче, чем кратчайший из всех существующих). Пусть — кратчайший путь из в . Вершина находится на и не посещена. Поэтому множество непосещённых вершин на непусто. Пусть — первая непосещённая вершина на , — предшествующая ей (следовательно, посещённая). Поскольку путь кратчайший, его часть, ведущая из через в , тоже кратчайшая, следовательно .
По предположению индукции, в момент посещения вершины выполнялось , следовательно, вершина тогда получила метку не больше чем . Следовательно, . Если , то индукционный переход доказан. Иначе, поскольку сейчас выбрана вершина , а не , метка минимальна среди непосещённых, то есть . Комбинируя это с , имеем , что и требовалось доказать.
Поскольку алгоритм заканчивает работу, когда все вершины посещены, в этот момент для всех вершин.
Сложность алгоритма
[править | править код]Сложность алгоритма Дейкстры зависит от способа нахождения вершины v, а также способа хранения множества непосещённых вершин и способа обновления меток. Обозначим через n количество вершин, а через m — количество рёбер в графе G.
- В простейшем случае, когда для поиска вершины с минимальным d[v] просматривается всё множество вершин, а для хранения величин d используется массив, время работы алгоритма есть . Основной цикл выполняется порядка n раз, в каждом из них на нахождение минимума тратится порядка n операций. На циклы по соседям каждой посещаемой вершины тратится количество операций, пропорциональное количеству рёбер m (поскольку каждое ребро встречается в этих циклах ровно дважды и требует константное число операций). Таким образом, общее время работы алгоритма , но, так как , оно составляет .
- Для разреженных графов (то есть таких, для которых m много меньше n²) непосещённые вершины можно хранить в двоичной куче, а в качестве ключа использовать значения d[i], тогда время удаления вершины из станет при том, что время модификации возрастёт до . Так как цикл выполняется порядка n раз, а количество смен меток не больше m, время работы такой реализации — .
- Если для хранения непосещённых вершин использовать фибоначчиеву кучу, для которой удаление происходит в среднем за , а уменьшение значения в среднем за , то время работы алгоритма составит . Однако согласно лекциям Алексеева и Таланова[3]:
скрытые константы в асимптотических оценках трудоёмкости велики и использование фибоначчиевых куч редко оказывается целесообразным: обычные двоичные (d-ичные[англ.]) кучи на практике эффективнее.
Альтернативами им служат толстые кучи, тонкие кучи и кучи Бродала[англ.], обладающие теми же асимптотическими оценками, но меньшими константами[4].
См. также
[править | править код]- Очередь с приоритетом (программирование)
- Минимальное остовное дерево
- Остовное дерево
- Задача о кратчайшем пути
- Алгоритм Борувки
- Алгоритм Краскала
- Алгоритм обратного удаления
- Алгоритм Прима
Примечания
[править | править код]- ↑ Частными случаями ориентированного графа являются неориентированный и смешанный («частично ориентированный») графы.
- ↑ Для графа с отрицательными весами применяется более общий алгоритм — Алгоритм Дейкстры с потенциалами
- ↑ Владимир Алексеев, Владимир Таланов, Курс «Структуры данных и модели вычислений», Лекция № 7: Биномиальные и фибоначчиевы кучи // 26.09.2006, Интуит.ру
- ↑ Владимир Алексеев, Владимир Таланов, Курс «Структуры данных и модели вычислений», Лекция № 8: Тонкие кучи // 26.09.2006, Интуит.ру
Литература
[править | править код]- Dijkstra E. W. A note on two problems in connexion with graphs (англ.) // Numerische Mathematik / F. Brezzi — Springer Science+Business Media, 1959. — Vol. 1, Iss. 1. — P. 269—271. — ISSN 0029-599X; 0945-3245 — doi:10.1007/BF01386390
- Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1.
- Левитин А. В. Глава 9. Жадные методы: Алгоритм Дейкстры // Алгоритмы. Введение в разработку и анализ — М.: Вильямс, 2006. — С. 189—195. — 576 с. — ISBN 978-5-8459-0987-9
Ссылки
[править | править код]- C. Анисимов. Как построить кратчайший маршрут между двумя точками.
- Реализация простейшего варианта алгоритма Дейкстры на e-maxx.ru
- Реализация варианта алгоритма Дейкстры для разреженных графов на e-maxx.ru
- Реализация варианта алгоритма Дейкстры с корневой эвристикой
- Алгоритм Дейкстры. Код программы на Python
- Пример на YouTube
- Dijkstra’s algorithm — реализация алгоритма на разных языках на Rosetta Code[англ.].