Вершина кривой

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эллипс (красный) и его эволюта (синяя). Точки являются вершинами кривой и каждая из них соответствует острию эволюты.

В геометрии кривых вершина — это точка, где первая производная кривизны равна нулю.[1] Как правило, это локальный максимум или минимум кривизны,[2] и некоторые авторы определяют вершину как экстремальную точку кривизны.[3] Однако, здесь могут возникнуть специальные случаи, например, когда вторая производная тоже нулевая или когда кривизна постоянна.

Примеры[править | править вики-текст]

Гипербола имеет две вершины, по одной на каждой ветке. Эти вершины имеют наименьшее расстояние между двумя точками на гиперболе и лежат на главной оси. На параболе всего одна вершина, и она лежит на оси симметрии.[2] У эллипса четыре вершины, две из них лежат на большой оси и две на малой.[4]

На окружности, поскольку она имеет нулевую кривизну, любая точка является вершиной.

Точки перегиба и касания[править | править вики-текст]

Вершины — это точки, где кривая имеет касание порядка 3 с соприкасающейся окружностью в этой точке.[5][6] Обычно точки на кривой имеют с соприкасающейся окружностью касание второго порядка. Эволюта кривой обычно имеет касп, если кривая имеет вершину[6]. Могут случаться и другие особые точки в вершинах большего порядка, в которых порядок соприкосновения с соприкасающейся окружностью больше трёх.[5] Хотя обычно кривая не имеет вершин высокого порядка, в семействах кривых две обычные вершины могут слиться в вершину большего порядка, а затем исчезнуть.

Множество симметрии[en] кривой имеет концы в каспах, соответствующих вершинам, а срединная ось, подмножество множества симметрии[en], также имеет концы в каспах.

Другие свойства[править | править вики-текст]

Согласно теореме о четырёх вершинах любая замкнутая кривая должна иметь по меньшей мере четыре вершины.[7]

Если кривая зеркально симметрична, она имеет вершину в точке пересечения оси симметрии с кривой. Таким образом, понятие вершины кривой тесно связано оптическими точками, точками, в которых оптическая ось пересекает поверхность линзы.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Agoston 2005, стр. 570; Gibson 2001, стр. 126.
  2. 1 2 Gibson 2001, стр. 127.
  3. Fuks & Tabachnikov 2007, стр. 141.
  4. Agoston 2005, стр. 570; Gibson 2001, стр. 127.
  5. 1 2 Gibson 2001, стр. 126.
  6. 1 2 Fuks & Tabachnikov 2007, стр. 142.
  7. Agoston 2005, Теорема 9.3.9, стр. 570; Gibson 2001, Section 9.3, "The Four Vertex Theorem", стр. 133–136; Fuks & Tabachnikov 2007, Теорема 10.3, стр. 149.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • Max K. Agoston Computer Graphics and Geometric Modelling: Mathematics. — Springer, 2005. — ISBN 9781852338176..
  • D. B. Fuks, Serge Tabachnikov Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics. — American Mathematical Society, 2007. — ISBN 9780821843161.
  • C. G. Gibson Elementary Geometry of Differentiable Curves: An Undergraduate Introduction. — Cambridge University Press, 2001. — ISBN 9780521011075..