Индекс особой точки

Индекс особой точки векторного поля — математическое понятие, относящееся к дифференциальной топологии, дифференциальной геометрии, теории динамических систем и теории дифференциальных уравнений. Является топологической характеристикой изолированной особой точки векторного поля и определяется как степень гауссова отображения в данной точке.

Определение

Пусть векторное поле $\xi (x)$ задано в окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$, являющейся изолированной особой точкой этого поля, то есть $\xi (x_{0})=0$ и при этом $\xi (x)\neq 0$ при всех $x\neq x_{0}$ из достаточно малой окрестности точки $x_{0}$. Индексом особой точки $x_{0}$ (обозначается $\operatorname {ind} _{x_{0}}\xi$) называется степень гауссова отображения $(n-1)$-мерной сферы $S_{\varepsilon }^{n-1}$ с центром $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ достаточно малого радиуса $\varepsilon >0$, выбранной так, что поле $\xi$ на ней не обращается в нуль, в сферу $S_{1}^{n-1}$. Именно, гауссово отображение $f_{x_{0}}:S_{\varepsilon }^{n-1}\to S_{1}^{n-1}$ определено по формуле: $f_{x_{0}}(x)={\frac {\xi (x)}{|\xi (x)|}}\quad \forall \ x\in S_{\varepsilon }^{n-1}.$

Свойства и примеры

Особая точка $x_{0}$ векторного поля $\xi (x)$ называется невырожденной, если в ней выполнено условие

$\Delta =\operatorname {det} \left({\frac {\partial \xi ^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right)\neq 0.$

Невырожденная особая точка всегда является изолированной, и её индекс равен знаку определителя $\Delta$.

Собственные значения $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ приведённой выше матрицы (матрицы линейной части поля в данной точке) называются корнями невырожденной особой точки. Для градиентных полей $\xi ^{\alpha }={\tfrac {\partial f}{\partial x^{\alpha }}}$ индекс невырожденный особой точки совпадает со знаком гессиана:

$\operatorname {ind} _{x_{0}}\xi =\operatorname {sgn} {\Bigg |}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right){\Bigg |}=(-1)^{i(x_{0})}$,

где $i(x_{0})$ — количество отрицательных квадратов в каноническом представлении квадратичной формы $d^{2}f{\bigr |}_{x=x_{0}}$.

В двумерном евклидовом пространстве индекс невырожденных особых точек, образующих центр (все корни — мнимые), узел (все корни — вещественные одного знака), фокус (корни комплексно сопряжены) — равен $1$, для седловых точек (вещественные корни разных знаков) — индекс равен $-1$.

См. также

• Индекс критической точки
• Теорема Пуанкаре о векторном поле
• Теорема о причёсывании ежа

Литература

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Любое издание.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Глава 3, §14, п 4. Индекс особой точки векторного поля // Современная геометрия. — 4-е изд.. — М.: Едиториал УРСС, 1998. — Т. Том 2. Геометрия и топология многообразий. — С. 90—92. — 280 с. — 1000 экз. экз. — ISBN 5-901006-27-5.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• М. И. Войцеховский. Особой точки индекс // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия (рус.). — М., 1977—1985.