Координатное представление (квантовая механика)

Координатное представление (квантовая механика) — это такое представление операторов квантовой механики, в котором операторы и волновая функция зависят от пространственных координат.В этом представлении оператор координаты диагонален.

Уравнение Шрёдингера[править | править код]

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

$(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r))\psi =i{\hbar }{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$

- зависящее от времени, и

$(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r))\psi =E\psi$

не зависящее от времени (везде r - радиус-вектор точки, где берётся волновая функция).

$r$ -координата;

$-i{\hbar }{\frac {\partial }{\partial r}}$ -импульс;

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)$ -гамильтониан.

Чтобы перейти в импульсное представление, нужно либо

1) Решить задачу в координатном и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

$\psi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (x)e^{-ipx/\hbar }dx$

P.S. Переход обратно к координатному представлению можно записать, как $\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi {\hbar }}}}\int \psi (p)e^{ipx/\hbar }dp$

Легко видеть, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трёхмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на ${\frac {1}{\sqrt {(2\pi \hbar )^{3}}}}$

2) Сменить гамильтониан на ${\hat {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+V(i{\hbar }{\frac {\partial }{\partial p}})$ и решать задачу с ним.