Гамильтониан (квантовая механика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Квантовая механика
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип неопределённости
Введение
Математические основы
См. также: Портал:Физика

Гамильтониа́н (\hat H или H) в квантовой теорииоператор полной энергии системы (ср. Функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений, при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например для Кулоновского потенциала) когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряженным оператором.

Уравнение Шрёдингера[править | править исходный текст]

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если  \left| \psi (t) \right\rangle состояние системы в момент времени t, то

 H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle.

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

 \left| \psi (t) \right\rangle = e^{-iHt/\hbar} \left| \psi (0) \right\rangle.

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизму, оператор

 U = e^{-iHt/\hbar}

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если Гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для Гамильтониана в координатном представлении[править | править исходный текст]

Свободная частица[править | править исходный текст]

Если у частицы нет потенциальной энергии, то Гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}

и для трёх измерений:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta

Потенциальная яма[править | править исходный текст]

Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени), в одном измерении, Гамильтониан такой:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0

в трёх измерениях

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V_0

Простой гармонический осциллятор[править | править исходный текст]

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении, потенциал зависит от координаты (но не от времени), как:

V = \frac{k}{2}x^2 = \frac{m\omega^2}{2}x^2

где угловая частота, коэффициент упругости k, и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению:

\omega^2 = \frac{k}{m}

поэтому Гамильтониан имеет вид:

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + \frac{m\omega^2}{2} r^2

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

r^2 = \bold{r}\cdot\bold{r} = |\bold{r}|^2 = x^2+y^2+z^2

Полный Гамильтониан — это сумма одномерных Гамильтонианов:

\begin{align} \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) + \frac{m\omega^2}{2} (x^2+y^2+z^2) \\
 = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{m\omega^2}{2}x^2\right) + \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{m\omega^2}{2}y^2 \right ) + \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial z^2} +\frac{m\omega^2}{2}z^2 \right) \\
\end{align}

В квантовой теории поля[править | править исходный текст]

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени; в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергию их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

Ссылки[править | править исходный текст]