Коэффициент эксцесса

Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Определение

Пусть задана случайная величина $X$, такая что $\mathbb{E} |X|^4 < \infty$. Пусть $\mu_4$ обозначает четвёртый центральный момент: $\mu_4 = \mathbb{E}\left[(X - \mathbb{E}X)^4\right]$, а $\sigma = \sqrt{\mathrm{D}[X]}$ — стандартное отклонение $X$. Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

$\gamma_2 = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3$.

Замечание

• «Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.

Свойства коэффициента эксцесса

• $\gamma_2 \in [-2,\infty)$.
• Пусть $X_1,\ldots,X_n$ — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть $Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i$. Тогда

$\gamma_{2,Y} = \frac{1}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n \gamma_{2,X_i}$,

где $\gamma_{2,Y},\gamma_{2,X_i},\; i=1,\ldots,n$ — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

См. также

• Моменты случайной величины.