Распределение Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Лапласа
Плотность вероятности
Плотности распределений Лапласа
Функция распределения
Функции распределений Лапласа
Обозначение {{{notation}}}
Параметры \textstyle\alpha>0 - коэффициент масштаба
\beta\in\mathbb{R} - Коэффициент сдвига
Носитель x \in (-\infty; \infty)\!
Плотность вероятности \frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha|x-\beta|}
Функция распределения \begin{cases}\frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x\le\beta \\ 1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x>\beta \end{cases}
Математическое ожидание \beta\,
Медиана \beta\,
Мода \beta\,
Дисперсия \frac{2}{\alpha^{2}}\,
Коэффициент асимметрии 0\,
Коэффициент эксцесса 3\,
Информационная энтропия \ln\left(\frac{2\,e}{\alpha}\right)\!
Производящая функция моментов  ?
Характеристическая функция \frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}


Распределе́ние Лапла́са (двойно́е экспоненциа́льное) — в теории вероятностей это непрерывное распределение случайной величины, при котором плотность вероятности есть

f(x)=\frac{\alpha}{2}\,e^{-\alpha|x-\beta|}, -\infty<x<+\infty,
где \alpha>0 — параметр масштаба, -\infty<\beta<+\infty — параметр сдвига.

Функция распределения[править | править исходный текст]

По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(t)dt=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{x}e^{-\alpha|t-\beta|}dt

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: x\le\beta и \textstyle x>\beta

F(x)=
\begin{cases}      
  \frac{1}{2}e^{\alpha(x-\beta)}, & x\le\beta \\
  1-\frac{1}{2}e^{-\alpha(x-\beta)}, & x>\beta
\end{cases}


Проверка свойств полученной функции:

  1. \textstyle F(x) не убывает, так как \textstyle f(x) положительна.
  2. \textstyle F(\beta-0)=F(\beta+0)=\frac{1}{2}, следовательно, \textstyle F(x) непрерывна в точке \textstyle \beta
  3. \textstyle F(x) ограничена.
  4. Пределы на бесконечностях:
\lim_{x\to-\infty}F(x)=\frac{1}{2}\lim_{x\to-\infty}e^{\alpha(x-\beta)}=0
\lim_{x\to+\infty}F(x)=1-\frac{1}{2}\lim_{x\to+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}=1

Математическое ожидание и дисперсия[править | править исходный текст]

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал (-\infty,+\infty) необходимо разбить на (-\infty,\beta)
и [\beta,+\infty). Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей (\pm\infty) рассматриваются пределы вида \lim_{x\to\pm\infty}r(x).

\operatorname{E}\xi=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{\alpha(x-\beta)}dx-\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha} x e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{-\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{\alpha(x-\beta)}\bigg|_{-\infty}^{\beta}+\frac{\beta}{2}-\frac{1}{2\alpha}e^{-\alpha(x-\beta)}\bigg|_{\beta}^{+\infty}=\beta-\frac{1}{2\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta


\operatorname{E}\xi^{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x) dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha}\bigg|_{-\infty}^{\beta}-\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\frac{x^{2}e^{-\alpha(x-\beta)}}{-\alpha}\bigg|_{\beta}^{+\infty}+\frac{\alpha}{2}\frac{2}{\alpha}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x e^{-\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{\beta^{2}}{2}-\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}+\frac{\beta^{2}}{2}+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}


\operatorname{D}\xi=\operatorname{E}\xi^{2}-(\operatorname{E}\xi)^{2}=\beta^{2}+\frac{2}{\alpha^{2}}-\beta^{2}=\frac{2}{\alpha^{2}}

Моменты[править | править исходный текст]

\operatorname{E}\xi^{k}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^{k}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx


Применяя формулу интегрирования по частям несколько раз, получаем:

\int x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{\alpha(x-\beta)}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{\alpha(x-\beta)}-\ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{\alpha(x-\beta)}+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{\alpha(x-\beta)}

\int x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=-\frac{1}{\alpha}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k}{\alpha^{2}}x^{k-1}e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}x^{k-2}e^{-\alpha(x-\beta)}-\ldots-\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}x e^{-\alpha(x-\beta)}-\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}e^{-\alpha(x-\beta)}


После подстановок пределов интегрирования:

\int\limits_{-\infty}^{\beta}x^{k}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}-\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}- \ldots+(-1)^{k-1}\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+(-1)^{k}\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}

\int\limits_{\beta}^{+\infty}x^{k}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\frac{1}{\alpha}\beta^{k}+\frac{k}{\alpha^{2}}\beta^{k-1}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{3}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k}}\beta+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k+1}}


Так как первый интеграл зависит от чётности k рассматриваются два случая: k — чётное и k — нечётное:

\operatorname{E}\xi^{k}=
\begin{cases} 
  \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 2\cdot 1}{\alpha^{k}}, & k=2n \\
  \beta^{k}+\frac{k(k-1)}{\alpha^{2}}\beta^{k-2}+\ldots+\frac{k(k-1)\cdots 3\cdot 2}{\alpha^{k-1}}\beta, & k=2n+1
\end{cases}

Или, в общем виде:

\operatorname{E}\xi^{k}=\sum_{i=0}^{\left \lfloor k/2\right\rfloor}\frac{\beta^{k-2i}}{\alpha^{2i}}\frac{k!}{(k-2i)!}, где \left\lfloor x\right\rfloor — целая часть x.

Характеристическая функция[править | править исходный текст]

\phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx=\frac{\alpha}{2}\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx+\frac{\alpha}{2}\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx

Оба интеграла находятся, используя формулу Эйлера \textstyle e^{ix}=\cos x+i\sin x и классический пример нахождения интегралов вида \int e^{\alpha x}\sin \beta x\,dx и \int e^{\alpha x}\cos \beta x\,dx (см. Интегрирование по частям:Примеры):

\int\limits_{-\infty}^{\beta}e^{itx}e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}(\cos tx + i\sin tx)e^{\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{-\infty}^{\beta}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{-\infty}^{\beta}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}+i\frac{e^{\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{-\infty}^{\beta}= =\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}+t(i\cos t \beta-\sin t \beta)\Big)


\int\limits_{\beta}^{+\infty}e^{itx}e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}(\cos tx + i\sin tx)e^{-\alpha(x-\beta)}dx=\int\limits_{\beta}^{+\infty}\cos tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx + i\int\limits_{\beta}^{+\infty}\sin tx\,e^{\alpha(x-\beta)}dx= =\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-\alpha\cos tx+t\sin tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}+i\frac{e^{-\alpha(x-\beta)}}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(-a\sin tx-t\cos tx\Big)\bigg|_{\beta}^{+\infty}= \frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)


Окончательно характеристическая функция есть:

\phi(t)=\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(ae^{it\beta}+t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)+\frac{\alpha}{2}\frac{1}{\alpha^{2}+t^{2}}\Big(\alpha e^{it\beta}-t(i\cos t\beta-\sin t\beta)\Big)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}

\phi(t)=\frac{\alpha^{2}e^{it\beta}}{\alpha^{2}+t^{2}}


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула