Линейное приближение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Касательная в точке (a, f(a))

В математике линейным приближением, или линейной аппроксимацией, называют приближение произвольной функции с помощью линейной функции. Применяется для приближенных расчетов и в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим непрерывно дифференцируемую функцию действительного числа f(x) в окрестности точки a. По теореме Тейлора, имеет место равенство:

f(x) = f(a)+f'(a)(x-a)+R_2

где R_2(x) = o(|x-a|^2) — остаточный член.


Линейное приближение g(x) получается в результате игнорирования остаточного члена:

g(x)= f(a)+f'(a)(x-a).


В ближайшей окрестности точки a значения этой функции близки к значениям f(x) и ее можно использовать как замену значений f(x) в приближенных вычислениях. При этом в общем случае погрешность возрастает при удалении от a и равна R2.

Легко заметить, что график функции g(x) — это касательная к графику f(x) в точке a.

Многомерный случай[править | править вики-текст]

Определение линейного приближения легко расширяется для случая векторной функции.

Если p — это точка в Rn и F — дифференцируемая в окрестности p функция, такая что F : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m, то ее линейным приближением будет:

G(\mathbf{x}) = F(\mathbf{p}) + J_F(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})

где J_F(\mathbf{p})матрица Якоби функции F.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. Calculus III. — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — P. 775. — ISBN 0-387-90985-0
  • Strang, Gilbert Calculus. — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0
  • Bock, David; Hockett, Shirley O. How to Prepare for the AP Calculus. — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3