Матрица Якоби

Не следует путать с Трёхдиагональная матрица.

Матрица Я́ко́би отображения $\mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m$ в точке $x\in \R^n$ описывает главную линейную часть произвольного отображения $\mathbf{u}$ в точке $x$.

Определение

Пусть задано отображение $\mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m ,$ имеющее в некоторой точке $x$ все частные производные первого порядка. Матрица $J$, составленная из частных производных этих функций в точке $x$, называется матрицей Якоби данной системы функций.

$J(x) = \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}$

Связанные определения

• Если $m = n$, то определитель $|J|$ матрицы Якоби называется определителем Якоби (якобиа́ном) системы функций $u_1, \ldots, u_n$.
• Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимальный возможный ранг:

  $\mathrm{rank}\,J = \min(m,n)$

Свойства

• Если все $u_i$ непрерывно дифференцируемы в окрестности $\mathbf{x}_0$, то

  $\mathbf{u}(x)=\mathbf{u}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|)$

• Пусть $\varphi\colon \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^m ,~\psi\colon \Bbb{R}^m \to \Bbb{R}^k$ — дифференцируемые отображения, $J_\varphi,J_\psi$ — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

  $J_{\psi \circ \varphi}(x) = J_\psi(\varphi(x)) J_\varphi(x)$

См. также

• Дифференциал
• Якобиан