Матрица Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Матрица Яко́би — отображение \mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m в точке x\in \R^n описывает главную линейную часть произвольного отображения \mathbf{u} в точке x.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть задано отображение \mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m , имеющее в некоторой точке  x все частные производные первого порядка. Матрица J, составленная из частных производных этих функций в точке x, называется матрицей Якоби данной системы функций.


J(x) = \begin{pmatrix}
{\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\
{\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\
{\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x)
\end{pmatrix}

Связанные определения[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если все u_i непрерывно дифференцируемы в окрестности \mathbf{x}_0, то
    \mathbf{u}(x)=\mathbf{u}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|)
  • Пусть \varphi\colon \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^m ,~\psi\colon \Bbb{R}^m \to \Bbb{R}^k — дифференцируемые отображения, J_\varphi,J_\psi — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):
    J_{\psi \circ \varphi}(x) = J_\psi(\varphi(x)) J_\varphi(x)

См. также[править | править вики-текст]