Матричный метод

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):


{ \begin{cases}
a_{11}x_1+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n1}x_1+ \ldots +a_{nn}x_n=b_n
\end{cases} }

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:


A = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots  \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}
\end{pmatrix},

B = 
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{pmatrix},

X = 
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}

Умножим это матричное уравнение слева на A^{-1} — матрицу, обратную к матрице A: A^{-1}\left( AX \right) = A^{-1}B

Так как A^{-1}A = E, получаем X = A^{-1}B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

\det A \ne 0.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если \det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Пример решения неоднородной СЛАУ[править | править вики-текст]


{ \begin{cases}
3x+2y-z=4; \\
2x-y+5z=23;\\
x+7y-z=5;
\end{cases} }

Сначала убедимся в том, что определитель матрицы из коэффициентов при неизвестных СЛАУ не равен нулю.

\begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 7 & -1 \end{vmatrix}=3-14+10-1-105+4=-103;

Теперь вычислим алгебраические дополнения для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они нам понадобятся для нахождения обратной матрицы.

A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix}-1 & 5\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-34;

A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix}2 & 5\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=7;

A_{13}=(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=15;


A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ 7 & -1 \end{vmatrix}=-5;

A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-2;

A_{23}=(-1)^{2+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 1 & 7 \end{vmatrix}=-19;


A_{31}=(-1)^{3+1}\cdot \begin{vmatrix}2 & -1\\ -1 & 5 \end{vmatrix}=9;

A_{32}=(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix}3 & -1\\ 2 & 5 \end{vmatrix}=-17;

A_{33}=(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix}3 & 2\\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-7;

Далее найдём союзную матрицу, транспонируем её и подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.

C^{*}=\begin{pmatrix}-34 & 7 & 15\\ -5 & -2 & -19\\ 9 & -17 & -7\end{pmatrix};


(C^{*})^{T}=\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix};


A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot(C^{*})^{T}

Подставляя переменные в формулу, получаем:

A^{-1}=\frac{1}{-103}\cdot\begin{pmatrix}-34 & -5 & 9\\ 7 & -2 & -17\\ 15 & -19 & -7\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix};

Осталось найти неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.

X=A^{-1}\cdot B;

X=\begin{pmatrix}\frac{34}{103} & \frac{5}{103} & -\frac{9}{103}\\ -\frac{7}{103} & \frac{2}{103} & \frac{17}{103}\\ -\frac{15}{103} & \frac{19}{103} & \frac{7}{103}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\23\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}

Итак, x=2; y=1; z=4.