Недезаргова плоскость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Недезаргова плоскость — это проективная плоскость, не удовлетворяющая теореме Дезарга, другими словами, не являющаяся дезарговой. Теорема Дезарга верна во всех проективных пространств размерности, не равной 2[1], то есть, для всех классических проективных геометрий над полем (или телом), но Гильберт обнаружил, что некоторые проективные плоскости не удовлетворяют теореме.

Примеры[править | править код]

Некоторые примеры являются конечными геометриями. Для конечной проективной плоскости порядок на единицу меньше числа точек на прямой (это константа для всех прямых). Некоторые примеры недезарговых плоскостей:

Классификация[править | править код]

Согласно Вайбелю[3], Х. Ленц дал схему классификации для проективных плоскостей в 1954[4] и её доработал А. Барлотти в 1957[5]. Эта схема классификации основывается на типах транзитивности точка-прямая, разрешённых the группой коллинеации[англ.] плоскости и известна как классификация проективных плоскостей Ленца — Барлотти. Список 53 типов дан в книге Дембовски[6]. Таблица известных результатов о существовании (для групп коллинеации и плоскостей, имеющих такие группы коллинеации) как для конечного, так и бесконечного случая, находится на странице 126 книги. Согласно Вайбелю, «36 из них существуют как конечные группы. От 7 до 12 существуют как конечные проективные плоскости и 14 или 15 существуют как бесконечные проективные плоскости.»

Существуют и другие схемы классификации. Одна из самых простых схем базируется на типе плоского тернарного кольца[англ.], которое можно использовать для введения координат на проективной плоскости. Эти типы: поля, тела, альтернативные тела, полуполя, почтиполя[англ.], правые почтиполя[англ.], квазиполя[англ.] и правые квазиполя[англ.][7].

Конические сечения[править | править код]

В дезарговой проективной плоскости коническое сечение может быть определено различными эквивалентными способами. В недезарговых плоскостях доказательства эквивалентности оказываются неверными и различные определения могут дать неэквивалентные объекты[8]. Остром Т. Г. предложил название конкоид для этих подобных коническим сечениям фигур, но не привёл формального определения и термин, как видно, не получил широкого распространения[9].

Существует несколько способов определения конических сечений на дезарговых плоскостях:

  1. Множество абсолютных точек[10] полярности известно как коническое сечение фон Штаудта[англ.]. Если плоскость определена над полем характеристики два, получим только вырожденные конические сечения[англ.].
  2. Множество точек пересечений соответствующих прямых двух пучков, которые проективно, но не перспективно, связаны известно как коническое сечение Штейнера[англ.]. Если пучки перспективно связаны, сечение вырождено.
  3. Множество точек, координаты которых удовлетворяют неприводимому однородному уравнению второй степени.

Кроме того, на конечной дезарговой плоскости:

  2. Множество q + 1 точек, никакие три из которых не коллинеарны в PG(2,q), называется овалом. Если q нечётно, овал является коническим сечением в смысле пункта 3 выше.
  3. Коническое сечение Острома основывается на обобщениях гармонических множеств.

Артци дал пример конических сечений Штейнера на муфанговой плоскости, которые не являются сечениями фон Штаудта[11]. Гарнер привёл пример конического сечения фон Штаудта, которое не является коническим сечением Острома на конечной плоскости полуполя[8].

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Теорема Дезарга тривиально, но бессодержательно верна в размерности 1. Проблема возникает только в размерности 2.
  2. ↑ см. книгу Рума и Киркпатрика (Room, Kirkpatrick 1971) с описанием всех четырёх плоскостей порядка 9.
  3. ↑ Weibel, 2007, с. 1296.
  4. ↑ Lenz, 1954, с. 20–31.
  5. ↑ Barlotti, 1957, с. 212–226.
  6. ↑ Dembowski, 1968, с. 124—5.
  7. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007, с. 723, статья о конечной геометрии Лео Сторме.
  8. ↑ 1 2 Garner, 1979, с. 132–138.
  9. ↑ Ostrom, 1981, с. 175–196.
  10. ↑ В пространстве с полярностью (отображением точек в прямые порядка два с сохранением инцидентности) точка является абсолютной, если лежит на своём образе, а прямая является абсолютной, если проходит через свой образ (точку).
  11. ↑ Artzy, 1971, с. 30–35.

Литература[править | править код]

  • Albert A.A., Sandler R. An Introduction to Finite Projective Planes. — New York: Holt, Rinehart and Winston, 1968.
  • Colbourn C.J., Dinitz J.H. Handbook of Combinatorial Designs. — 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8.
  • Dembowski P. Finite Geometries. — Berlin: Springer Verlag, 1968.
  • Hall M. Projective planes. — Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1943. — Т. 54. — С. 229–277. — doi:10.2307/1990331.
  • Hughes D.R., Piper F.C. Projective Planes. — New York: Springer Verlag, 1973. — ISBN 0-387-90044-6.
  • Kárteszi F. Introduction to Finite Geometries. — Amsterdam: North-Holland, 1976. — ISBN 0-7204-2832-7.
  • Lüneburg H. Translation Planes. — Berlin: Springer Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09614-0.
  • Room T. G., Kirkpatrick P. B. Miniquaternion Geometry. — Cambridge: Cambridge University Press, 1971. — ISBN 0-521-07926-8.
  • Sidorov L.A. Non-Desarguesian_geometry // Encyclopedia of Mathematics / Hazewinkel M.. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
  • Stevenson F.W. Projective Planes. — San Francisco: W.H. Freeman and Company, 1972. — ISBN 0-7167-0443-9.
  • Weibel C. Survey of Non-Desarguesian Planes // Notices of the AMS. — 2007. — Т. 54, вып. 10. — С. 1294–1303.
  • Lenz H. Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1954. — Т. 57.
  • Barlotti A. Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo // Boll. Un. Mat. Ital.. — 1957. — Т. 12.
  • Garner C.W.L. Conics in Finite Projective Planes // Journal of Geometry. — 1979. — Т. 12, вып. 2. — doi:10.1007/bf01918221.
  • Artzy R. The Conic y=x2 in Moufang Planes // Aequationes Mathematicae. — 1971. — Т. 6. — doi:10.1007/bf01833234.
  • Ostrom T.G. Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planes // Geometry - von Staudt's Point of View / Plaumann P., Strambach K.. — D. Reidel, 1981. — ISBN 90-277-1283-2.
Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Недезаргова_плоскость&oldid=131914532