Конечная группа

Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60°

Конечная группа — алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1.

Несмотря на относительную простоту конечных групп, их полной теории создать не удалось. Лучше всего исследованы группы, порядок которых — простое число или степень простого числа (простые, или p-группы), проведена их полная классификация.

Конечные группы широко используются как в математике, так и в других науках: топология, криптография, кристаллография, атомная физика, теория орнаментов и др. Конечные группы преобразований тесно связаны с симметрией исследуемых объектов.

Примеры

• Аддитивная группа $\mathbb{Z}_n$ классов вычетов по модулю n.
• Мультипликативная группа корней n-й степени из единицы, изоморфная предыдущей группе.
• Приведённая система вычетов по модулю m, порядок которой равен $\varphi(m)$ (функция Эйлера).
• Некоммутативная группа из 8 кватернионных единиц: $\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k$.
• Симметрическая группа (группа подстановок) $S_n$, её порядок равен $n!$ и при $n>2$ она некоммутативна.
• Четверная группа Клейна.

Свойства и связанные определения

Порядок элемента g конечной группы G — минимальное натуральное число m такое, что $g^m=1$. Порядок определён для каждого элемента конечной группы.

Теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

• Следствие 1: порядок любого элемента конечной группы — делитель порядок группы. Обратное неверно: не всякому делителю $k$ порядка группы соответствует подгруппа порядка $k$. Например, порядок группы вращений додекаэдра равен 60, но подгрупп порядка 15 у неё нет. Достаточные условия существования подгруппы заданного порядка (при некоторых дополнительных предположениях) устанавливают теоремы Силова.
• Следствие 2: любой элемент g конечной группы порядка n удовлетворяет соотношению:

$g^n = 1$

Пример для приведённой системы вычетов: теорема Эйлера в теории чисел.

Частное от деления порядка группы на порядок подгруппы называется индексом этой подгруппы и обозначается $G : H$. Например, в вышеприведенной группе кватернионных единиц (порядка 8) есть подгруппа $\{1; -1\}$ порядка 2 и индекса 4, а также подгруппа $\{1; -1; i; -i\}$ порядка 4 и индекса 2.

Смежные классы и фактор-группа

Пусть H — подгруппа порядка m в конечной группе G порядка n. Будем считать элементы $g, g' \in G$ эквивалентными по подгруппе H, если существует $h \in H$ такое, что $~g=g'h.$ Легко проверить, что это отношение эквивалентности в группе G. Оно разбивает группу на непересекающиеся классы эквивалентности, называемыми (левыми) смежными классами, все они содержат по m элементов, число классов равно индексу подгруппы. Каждый элемент $g \in G$ входит в смежный класс $\bar{g} = g H$, образованный всевозможными произведениями g на элементы подгруппы H.

Если подгруппа H является нормальным делителем, то можно перенести групповую операцию на множество смежных классов, определив:

$(g_1 H) (g_2 H) = (g_1 g_2) H$

Результат такой операции не зависит от выбора представителей $g_1 g_2$ и превращает множество смежных классов в группу, называемую фактор-группой. Она обозначается $G / H$. Порядок фактор-группы равен индексу соответствующей подгруппы.

Классификация

Конечные циклические группы

Наиболее простую структуру имеют конечные циклические группы, все элементы которых можно представить как последовательные степени некоторого фиксированного элемента $a:$

$1, a, a^2, a^3 \dots a^{n-1}\$ (n — порядок группы).

Элемент a называется образующим (или первообразным) для данной группы. Количество образующих элементов для группы порядка n равно $\varphi(n)$ (функция Эйлера). Пример: группа корней из единицы.

Циклические группы всегда коммутативны (абелевы). Другие свойства:

• Любая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов $~\mathbb{Z}_n$. Отсюда вытекает, что, с точностью до изоморфизма, существует только одна конечная циклическая группа данного порядка.
• Группа порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент того же порядка n.
• Циклическая группа имеет нетривиальные подгруппы тогда и только тогда, когда её порядок является составным числом.
• Любая подгруппа циклической группы тоже циклична. Циклической будет и всякая фактор-группа циклической группы G/H.
• Не всякая коммутативная конечная группа является циклической. Простейший контрпример: четверная группа Клейна.

Группы с простым порядком (p-группы)

Пусть порядок группы — простое число p, тогда имеют место следующие свойства.

• Группа является циклической.
• Группа коммутативна (абелева) и нильпотентна.
• Все группы одного и того же порядка p изоморфны друг другу.

Более общим и более сложным является случай, когда порядок группы — степень простого числа; такие группы принято называть p-группами. См. их общую классификацию.

Коммутативные (абелевы) группы

Основная теорема (Фробениус): всякая коммутативная конечная группа может быть представлена как прямая сумма p-групп. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.

Количество различных групп заданного порядка

Большой практический интерес представляет задача определить, сколько различных групп имеет заданный порядок n (изоморфные группы не различаются) и сколько из этих групп коммутативны.

Порядок группы	Число групп	Коммутативных	Некоммутативных
1	1	1	0
2	1	1	0
3	1	1	0
4	2	2	0
5	1	1	0
6	2	1	1
7	1	1	0
8	5	3	2
9	2	2	0
10	2	1	1
11	1	1	0
12	5	2	3
13	1	1	0
14	2	1	1
15	1	1	0
16	14	5	9
17	1	1	0
18	5	2	3
19	1	1	0
20	5	2	3
21	2	1	1
22	2	1	1
23	1	1	0
24	15	3	12
25	2	2	0

См. также

• Бесконечная группа
• Действие группы
• Классификация простых конечных групп
• Конечно определённая группа
• Кристаллографическая группа
• Локально конечная группа
• Представление группы
• Теоремы Силова

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — Мир, 1985.
• Конечная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

Ссылки

• Finite Group на Wolfram Math World.  (англ.)