Конечная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Симметрия снежинки связана с группой поворотов на угол, кратный 60°

Конечная группа в общей алгебрегруппа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком)[1]. Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1.

Конечные группы широко используются как в математике, так и в других науках: топология, криптография, кристаллография, атомная физика, теория орнаментов и др. Конечные группы преобразований тесно связаны с симметрией исследуемых объектов.

Примеры[править | править исходный текст]

Свойства и связанные определения[править | править исходный текст]

Теорема Кэли: таблица умножения элементов конечной группы образует латинский квадрат[2].

Порядок элемента g конечной группы G — минимальное натуральное число m такое, что g^m=1. Порядок определён для каждого элемента конечной группы.

Теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

  • Следствие 1: порядок любого элемента конечной группы — делитель порядка группы.
  • Следствие 2: любой элемент g конечной группы порядка n удовлетворяет соотношению:
g^n = 1

Пример для приведённой системы вычетов: теорема Эйлера в теории чисел.

Частное от деления порядка группы на порядок подгруппы называется индексом этой подгруппы и обозначается G : H. Например, в вышеприведенной группе кватернионных единиц (порядка 8) есть подгруппа \{1; -1\} порядка 2 и индекса 4, а также подгруппа \{1; -1; i; -i\} порядка 4 и индекса 2.

Теорема Коши (1815): любая группа, порядок которой делится на простое число p, имеет элемент порядка p.

Если всякому делителю k порядка группы соответствует подгруппа порядка k, то группа называется лагранжевой. Не всякая группа лагранжева — например, порядок группы вращений додекаэдра равен 60, но подгрупп порядка 15 у неё нет[3]. Достаточные условия существования подгруппы заданного порядка (при некоторых дополнительных предположениях) устанавливают теоремы Силова. Примером лагранжевой группы является симметрическая группа S_4.

Смежные классы и фактор-группа[править | править исходный текст]

Пусть H — подгруппа порядка m в конечной группе G порядка n. Будем считать элементы g, g' \in G эквивалентными по подгруппе H, если существует h \in H такое, что ~g=g'h. Легко проверить, что это отношение эквивалентности в группе G. Оно разбивает группу на непересекающиеся классы эквивалентности, называемыми (левыми) смежными классами, все они содержат по m элементов, число классов равно индексу подгруппы. Каждый элемент g \in G входит в смежный класс \bar{g} = g H, образованный всевозможными произведениями g на элементы подгруппы H.

Если подгруппа H является нормальным делителем, то можно перенести групповую операцию на множество смежных классов, определив:

(g_1 H) (g_2 H) = (g_1 g_2) H

Результат такой операции не зависит от выбора представителей g_1 g_2 и превращает множество смежных классов в группу, называемую фактор-группой. Она обозначается G / H. Порядок фактор-группы равен индексу соответствующей подгруппы.

Классификация[править | править исходный текст]

Конечные циклические группы[править | править исходный текст]

Наиболее простую структуру имеют конечные циклические группы, все элементы которых можно представить как последовательные степени некоторого фиксированного элемента a:

1, a, a^2, a^3 \dots a^{n-1}\ (n — порядок группы).

Элемент a называется образующим (или первообразным) для данной группы. Количество образующих элементов для группы порядка n равно \varphi(n) (функция Эйлера). Пример: группа корней из единицы.

Циклические группы всегда коммутативны (абелевы) и лагранжевы. Другие свойства:

  • Любая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов ~\mathbb{Z}_n. Отсюда вытекает, что, с точностью до изоморфизма, существует только одна конечная циклическая группа данного порядка.
  • Группа порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент того же порядка n.
  • Циклическая группа имеет нетривиальные подгруппы тогда и только тогда, когда её порядок является составным числом.
  • Любая подгруппа циклической группы тоже циклична. Циклической будет и всякая фактор-группа циклической группы G/H.
  • Не всякая коммутативная конечная группа является циклической. Простейший контрпример: четверная группа Клейна.

Группы с простым порядком (p-группы)[править | править исходный текст]

Пусть порядок группы — простое число p, тогда имеют место следующие свойства.

Более общим и более сложным является случай, когда порядок группы — степень простого числа; такие группы принято называть p-группами.

Простые группы[править | править исходный текст]

Конечная группа называется простой, если все её нормальные подгруппы тривиальны (то есть совпадают либо с единичной подгруппой, либо со всей группой)[4]. См. их общую классификацию.

Коммутативные (абелевы) группы[править | править исходный текст]

Основная теорема (Фробениус): всякая коммутативная конечная группа может быть представлена как прямая сумма p-групп. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.

Количество различных групп заданного порядка[править | править исходный текст]

Большой практический интерес представляет задача определить, сколько различных групп имеет заданный порядок n (изоморфные группы не различаются) и сколько из этих групп коммутативны.

Порядок группы Число групп[5] Коммутативных Некоммутативных
1 1 1 0
2 1 1 0
3 1 1 0
4 2 2 0
5 1 1 0
6 2 1 1
7 1 1 0
8 5 3 2
9 2 2 0
10 2 1 1
11 1 1 0
12 5 2 3
13 1 1 0
14 2 1 1
15 1 1 0
16 14 5 9
17 1 1 0
18 5 2 3
19 1 1 0
20 5 2 3
21 2 1 1
22 2 1 1
23 1 1 0
24 15 3 12
25 2 2 0

История[править | править исходный текст]

Первые исследования конечных групп появились задолго до появления этого термина, и касались они конкретных представителей данной структуры. Впервые такая потребность возникла при исследовании алгебраических уравнений на разрешимость в радикалах, для чего Лаrpанж, Руффини и Абель глубоко исследовали группы подстановок корней многочленов. В 1771 году Лагранж открыл для циклических групп подстановок теорему, названную его именем и имеющую вполне общий характер. Абель существенно дополнил достижения Лагранжа, а поскольку он выяснил роль коммутативных групп подстановок в данной проблеме, такие группы с тех пор называют абелевыми. В 1815 году Коши доказал, что всякая группа, порядок которой делится на простое число p, обладает элементом порядка p. Доказательство имело общий характер, хотя Коши тоже ограничился группой подстановок.

Вторым объектом для будущей теории стали аддитивные группы вычетов. Простейшая нетривиальная группа из двух элементов рассматривалась ещё Лейбницем, а содержательную теорию этой структуры для произвольного модуля дали Эйлер и Гаусс.

Термин «группа» появился в работах Галуа, тоже изучавшего группы подстановок, однако определение было дано в достаточно общем виде. Галуа также ввёл фундаментальные понятия нормальной подгруппы, фактор-гpуппы, разрешимой группы.

В 1854 году Кэли дал первое абстрактное определение группы. В работе 1878 года он доказал ключевую теорему о представлении произвольной конечной группы подстановками. В 1872 году норвежский математик Силов получил свои знаменитые результаты о максимальных p-подгруппах, остающиеся фундаментом теории конечных групп и в наши дни.

Значительный вклад в теорию абстрактных конечных групп внес также Фробениус, благодаря которому были полностью описаны конечные абелевы группы и создана теория их матричных представлений. К концу XIX века конечные группы с успехом применялись как в математике, так и в естественных науках (например, в кристаллографии). В начале XX века труды Эмми Нётер и Артина заложили основы современной теории групп.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — ISBN 5-88688-060-7
  • Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — М.: Мир, 1985.
  • Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982.
  • Вечтомов Е. М. О лагранжевых группах. §1. Из истории теории групп // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании : Материалы международной научной конференции, Пермь, сентябрь 2007 г.. — Пермь: Пермский Гос. Пед. Университет, 2007. — С. 23—32..
  • Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Математическая энциклопедия, 1982, Том 2. Конечная группа
  2. Малых А. Е. О проблеме Киркмана и ее развитии во второй половине XIX — начале ХХ столетий // Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании : Материалы международной научной конференции, Пермь, сентябрь 2007 г.. — Пермь: Пермский Гос. Пед. Университет, 2007. — С. 84..
  3. Стюарт, Ян. Концепции современной математики. — Минск: Вышейшая школа, 1980. — С. 133-134. — 384 с.
  4. Математическая энциклопедия, 1982, Том 4.Простая группа
  5. John F. Humphreys, A Course in Group Theory, Oxford University Press, 1996, pp. 238-242.