Оценки Шаудера

Оценки Шаудера — оценки на норму Гёльдера решений линейных равномерно эллиптических уравнений в частных производных.

Получены Юлиушем Шаудером. Эти оценки используются в доказательстве методом непрерывности существования и регулярности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений в частных производных.

Обозначения

Пусть $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ Суп-норма непрерывной функции $f\in C(\Omega )$ определяется как

$|f|_{0;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|$

Для функции, непрерывной по Гёльдеру с показателем $\alpha$, то есть $f\in C^{\alpha }(\Omega )$ обычная полунорма Гёльдера определяется как

$[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Сумма двух является полной нормой Гёльдера функции $f$

$|f|_{0,\alpha ;\Omega }=|f|_{0;\Omega }+[f]_{0,\alpha ;\Omega }=\sup _{x\in \Omega }|f(x)|+\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Для дифференцируемых функций u необходимо учитывать нормы высших порядков, включая производные. Норма в пространстве функций с k непрерывными производными, $C^{k}(\Omega )$ определяется как

$|u|_{k;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|,$

где $\beta =(i_{1},\dots ,i_{n})$ обозначает мультииндекс, а $|\beta |=i_{1}+\dots +i_{n}$.

Для функций с производными k-го порядка, непрерывных по Гёльдеру с показателем $\alpha$, соответствующая полунорма определяется как

$[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}$

что дает полную норму

$|u|_{k,\alpha ;\Omega }=|u|_{k;\Omega }+[u]_{k,\alpha ;\Omega }=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Для внутренних оценок нормы берутся с весами по расстоянию до границы.

$d_{x}=d(x,\partial \Omega )$

в той же степени, что и производная, а полунормы берутся с весом

$d_{x,y}=\min(d_{x},d_{y})$

возведённым в соответствующую степень. Результирующая взвешенная внутренняя норма функции определяется выражением

$|u|_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=|u|_{k;\Omega }^{*}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{*}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Ещё требуется норма с добавочной степенью при весах:

$|u|_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=|u|_{k;\Omega }^{(m)}+[u]_{k,\alpha ;\Omega }^{(m)}=\sum _{|\beta |\leq k}\sup _{x\in \Omega }|d_{x}^{|\beta |+m}D^{\beta }u(x)|+\sup _{\stackrel {x,y\in \Omega }{|\beta |=k}}d_{x,y}^{m+k+\alpha }{\frac {|D^{\beta }u(x)-D^{\beta }u(y)|}{|x-y|^{\alpha }}}.$

Формулировка

Внутренняя оценка

Рассмотрим ограниченное решение $u\in C^{2,\alpha }(\Omega )$ в области $\Omega$ к эллиптическому уравнению в частных производных второго порядка

$\sum _{i,j}a_{i,j}(x)D_{i}D_{j}u(x)+\sum _{i}b_{i}(x)D_{i}u(x)+c(x)u(x)=f(x)$

где исходный член удовлетворяет $f\in C^{\alpha }(\Omega )$. Предположим, что уравнение строго эллиптично, то есть существует постоянная $\lambda >0$ такая что

$\sum a_{i,j}(x)\xi _{i}\xi _{j}\geq \lambda |\xi |^{2}$ для всех $x\in \Omega ,\xi \in \mathbb {R} ^{n},$

а все соответствующие коэффициенты норм ограничены другой константой $\Lambda$

$|a_{i,j}|_{0,\alpha ;\Omega },|b_{i}|_{0,\alpha ;\Omega }^{(1)},|c|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}\leq \Lambda .$

Тогда взвешенную $C^{2,\alpha }$-норму u можно оценить через суп-норму u и норму Гёльдера f:

$|u|_{2,\alpha ;\Omega }^{*}\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }^{(2)}).$

Граничные оценки

Пусть $\Omega$ есть $C^{2,\alpha }$-гладкая область (то есть около любой точки на границе области граничная поверхность может быть реализована после соответствующего поворота координат как график $C^{2,\alpha }$ функции), с граничными данными Дирихле, совпадающими с функцией $\phi (x)$ что также по крайней мере $C^{2,\alpha }$. Затем с учетом тех же условий на коэффициенты, что и в случае внутренней оценки, невзвешенная норма Гёльдера для u управляется невзвешенными нормами исходного члена, граничных данных и супремум-нормы u:

$|u|_{2,\alpha ;\Omega }\leq C(n,\alpha ,\lambda ,\Lambda ,\Omega )(|u|_{0,\Omega }+|f|_{0,\alpha ;\Omega }+|\phi |_{2,\alpha ;\partial \Omega }).$

При этом, если решение u удовлетворяет принципу максимума, то первый член в правой части можно опустить.

Литература

• Schauder, Juliusz (1934), "Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung", Mathematische Zeitschrift (in German), Berlin, Germany: Springer-Verlag, 38 (1), pp. 257–282, doi:10.1007/BF01170635 MR1545448

• Schauder, Juliusz (1937), "Numerische Abschätzungen in elliptischen linearen Differentialgleichungen" (PDF), Studia Mathematica (in German), Lwów, Poland: Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny, 5, pp. 34–42

• Courant, Richard; Hilbert, David (1989), Methods of Mathematical Physics, 2 (1st English ed.), New York: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50439-4

• Han, Qing; Lin, Fanghua (1997), Elliptic Partial Differential Equations, New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, ISBN 0-9658703-0-8, OCLC 38168365 MR1669352