Задача Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Решение задачи Дирихле на кольце с краевыми условиями: u(0,\varphi)=0, u(4,\varphi)=4 \sin (5\varphi)

Задача Дирихле — вид задач, появляющийся при решении дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Названа в честь Иоганна Дирихле.

Постановка задачи[править | править исходный текст]

Задача Дирихле ставится следующий образом: пусть в области \Omega задано уравнение

 \Delta u = f(\mathbf{x})

где \Delta — оператор Лапласа. С краевыми условиями:

 \Bigl.u\Bigr|_{\partial \Omega} = g(\mathbf{x})

Такая задача называется внутренней задачей Дирихле или первой краевой задачей. Сами условия называются условиями Дирихле или первыми краевыми условиями. Второе называние может трактоваться шире, обозначая любую задачу решение дифференциального уравнения, когда известно значение искомой функции на всей границе области. В случае, когда надо найти значения функции вне области \Omega задача называется внешней задачей Дирихле.

Связанные теоремы[править | править исходный текст]

Теорема.
Решение задачи Дирихле, внутренней или внешней, единственно[1]


Аналитическое решение[править | править исходный текст]

Аналитически задача Дирихле может быть решена с помощью теории потенциала. Решение однородного уравнения можно представить в виде[1]:

u(\mathbf{x}) = \int_{\partial \Omega} {g(\mathbf{x}) \frac{\partial G(\mathbf{x},\mathbf{y})}{\partial n} dx},

где G(\mathbf{x},\mathbf{y}) — функция Грина для оператора Лапласа в области \Omega.

Численное решение[править | править исходный текст]

Построение аналитического выражения для функции Грина в сложных областях может вызвать затруднения, поэтому для решения таких задач приходится пользоваться численными методами. Для каждого метода свои особенности учёта первых краевых:

  • В методе конечных разностей для узлов на границе области записывается уравнение \mathbf{q}_i = g(\mathbf{x}_i), где i — номер соответствующего узла.
  • В методе конечных элементов такие краевые условия называют главными краевыми условиями и они учитываются на этапе сборки матрицы, для всех весов связанных с границей уравнения заменяются на уравнения вида \mathbf{q}_i = g(\mathbf{x}_i), далее выполняется несколько шагов методом Гаусса, чтобы полученная матрица была симметричной[2].

Физическая интерпретация[править | править исходный текст]

Физическая интерпретация условий Дирихле — поведение искомой величины на границе:

  • Температура, если рассматривается уравнение теплопроводности
  • После скорости, если рассматривается уравнение Стокса
  • Магнитное поле или электрическое поле, если рассматривается некоторое уравнение, получаемое из уравнений Максвелла (тогда краевые условия называют магнитными или электрическими краевыми условиями, соответственно).

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 М. М. Смирнов Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — Москва: Наука, 1964.
  2. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9