Мультииндекс

Мультииндекс (или мульти-индекс) — это обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндекса

n-мерный мультииндекс — это вектор

$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n),$

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов $\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0$ и вектора $x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ вводятся:

• Покомпонентное сложение и вычитание

$\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)$

• Частичная упорядоченность

$\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}$

• Абсолютное значение как сумма компонентов

$| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$

• Факториал

$\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$

• Биномиальный коэффициент

${\alpha \choose \beta} ={\alpha_1 \choose \beta_1}{\alpha_2 \choose \beta_2}\cdots{\alpha_n \choose \beta_n}$

• Возведение в степень

$x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}$

• Старшая частная производная

$\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}$ где $\partial_i^{\alpha_i}:=\part^{\alpha_i} / \part x_i^{\alpha_i}$

Некоторые приложения

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициенты

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

$\biggl( \sum_{i=1}^n x_i\biggr)^k = \sum_{|\alpha|=k} \frac{k!}{\alpha!} \, x^\alpha$

Формула Лейбница

Для гладких функций f и g

$\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} {\alpha \choose \nu} \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.$

Разложение в ряд Тейлора

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

$f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0}^{}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.$

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

$f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_n(x,h),$

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

$R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th)\,dt.$

Оператор дифференцирования

Формальный оператор взятия частной производной N-того порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

$P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.$

Интегрирование по частям

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ имеем:

$\int_{\Omega}{}{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.$

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теореме

Если $\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n_0$ — это мультииндексы и $x=(x_1,\ldots, x_n)$, то

$\part^\alpha x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \hbox{if}\,\, \alpha\le\beta,\\ 0 & \hbox{otherwise.} \end{cases}$

Доказательство

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

$\frac{d^\alpha}{dx^\alpha} x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \hbox{if}\,\, \alpha\le\beta, \\ 0 & \hbox{otherwise.} \end{cases}\qquad(1)$

Положим $\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)$, $\beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)$ и $x=(x_1,\ldots, x_n)$. Тогда

$\begin{align}\part^\alpha x^\beta&= \frac{\part^{\vert\alpha\vert}}{\part x_1^{\alpha_1} \cdots \part x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\ &= \frac{\part^{\alpha_1}}{\part x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\part^{\alpha_n}}{\part x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}$

Здесь каждое дифференцирование $\part/\part x_i$ сводится к соответствующей обыкновенной производной $d/dx_i$, так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция $x_i^{\beta_i}$ зависит только от $x_i$. Поэтому из уравнения (1) следует, что $\part^\alpha x^\beta$ исчезает как только α_i > β_i для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

$\frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i}$

для каждого $i$.$\Box$

Ссылки

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.