Пифагоров строй

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Пифагорейский строй»)
Перейти к: навигация, поиск

Пифагоров строй — музыкальный строй, теорию которого связывают с пифагорейской школой гармоники. Со времён поздней античности видные теоретики музыки (Никомах, Ямвлих, Боэций и др.) приписывали его непосредственно Пифагору.

Абстрактно-математическое представление о Пифагоровом строе (как квинтовой цепи) сложилось в эпоху западноевропейского барокко.

В некоторых научных статьях именуется также «пифагорейским строем»[источник не указан 688 дней].

Обычно представляется в виде последовательности квинт (или кварт), например, так (цепь из 6 квинт от звука фа):

FCGDAEH

или в виде диатонической гаммы:

C D E F G A H C
1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
Целый тон Целый тон Лимма Целый тон Целый тон Целый тон Лимма
8 : 9 8 : 9 243 : 256 8 : 9 8 : 9 8 : 9 243 : 256
203,91 ц 203,91 ц 90,22 ц 203,91 ц 203,91 ц 203,91 ц 90,22 ц

В западной музыке пифагорейскому строю приписывается роль основы не только для античной монодии, но также и для полифонической музыки Средневековья. Музыкальные теоретики всё ещё продолжают описывать интервалы опираясь на пифагорейский строй[источник не указан 787 дней], хотя певческая, а затем инструментальная многоголосная тональная музыка не позже XVI века начала осваивать чистый строй. В сравнении с последним, пифагорейский является октавно-квинтовым строем, порождаемым натуральными интервалами чистой октавы (1:2) и чистой квинты (2:3)[1]. У всех занятых в интервальных соотношениях пифагорейского строя чисел факторизации основаны на простых числах величиной не более 3-х. По этой причине, преимущественно в англоязычной среде, пифагорейский строй ещё называют настройка предела 3 (англ. 3-limit tuning).

Таблица интервалов Пифагорова строя[править | править вики-текст]

В следующей таблице показаны интервалы Пифагорова строя, не превосходящие октаву, и получаемые не более чем 18-ю квинтовыми шагами. Диатонические интервалы (то есть возникающие в Пифагоровой 7-ступенной диатонике и получаемые не более чем 6 квинтовыми шагами) выделены жирным шрифтом. Обычным шрифтом отмечены хроматические интервалы (возникающие, наряду с диатоническими интервалами, в 12-ступенном Пифагоровом октавном звукоряде, и получаемые 7—11-ю квинтовыми шагами). Остальные, «дихроматические» (или «энармонические»), интервалы, получаемые 12—18 квинтовыми шагами, выделены курсивом. Эти последние (за исключением Пифагоровой коммы, соответствующей увеличенной септиме без октавы, и уменьшённой ноны) соответствуют дважды увеличенным и уменьшенным интервалам диатоники.

Сокращения: «м.» — малая; «б.» — большая; «ум.» — уменьшённая; «ув.» — увеличенная.

В колонках Q и O таблицы показаны соответственно количества квинт и октав, откладыванием которых получается данный интервал (при этом положительным числам соответствует откладывание вверх, а отрицательным — вниз). Например, уменьшённой септиме соответствуют значения Q = −9 и O = 6, то есть уменьшенная септима получается откладыванием от данного звука (высоты) 9-ти квинт вниз и 6 октав вверх; таким образом, она имеет отношение частот звуков, равное

\left(\frac32\right)^{-9}\times\left(\frac21\right)^6=2^{15}\cdot 3^{-9}=\frac{32768}{19683}.

При этом число О (для интервалов, меньших октавы) однозначно определяется числом Q, находясь от него в функциональной зависимости, определяемой формулой:

\mathrm{O}=-\lfloor\mathrm{Q}\times(\log_2{3}-1)\rfloor,

где \lfloor x\rfloorцелая часть числа x[2].

Далее, каждый из интервалов, указанных в таблице, однозначно представляется как сложенный из T целых тонов (указанных в колонке T), L лимм (колонка L) и K Пифагоровых комм (колонка K), при ограничениях

0\leqslant T\leqslant 6,\qquad 0\leqslant L \leqslant 1, \qquad -2\leqslant K\leqslant 1.

Как видно из таблицы, для диатонических интервалов имеет место одно из трёх пар равенств: L=0 и K=0, либо L=1 и K=0, либо L=0 и K={-1} (то есть диатонический интервал всегда равен либо целому числу тонов, либо целому числу тонов с прибавленной лиммой, либо меньше целого числа тонов на Пифагорову комму). Для хроматических интервалов, сверх того, могут иметь место соотношения L=1 и K=1, либо L=1 и K={-1}, а «дихроматических» (выделенных курсивом) — также L=0 и K=1, либо L=0 и K={-2}.

Название Q O T L K Отношение Величина
в центах
Ступень
от c
Дополнительные
примеры
унисон, прима 0 0 0 0 0 1:1 0,00 c
Пифагорова комма
(ув. септима без октавы)[3]
12 -7 0 0 1 531441:524288 23,46 His des—cis, fes—e, a—gisis
дважды ум. терция -17 10 0 1 -1 134217728:129140163 66,76 eseses[4] cis—eses, eis—ges
лимма, м. секунда,
меньший (диатонический) полутон
-5 3 0 1 0 256:243 90,22 des e—f, cis—d, des—eses
апотома, ув. прима,
больший (хроматический) полутон
7 -4 0 1 1 2187:2048 113,69 cis cis—cisis, des—d,
eses—es
ум. терция -10 6 1 0 -1 65536:59049 180,45 eses cis—es, e—ges
целый тон, б. секунда 2 -1 1 0 0 9:8 203,91 d d—e, e—fis, B—c,
des—es, cis—dis
дважды ув. прима 14 -8 1 0 1 4782969:4194304 227,37 cisis ces—cis, deses—d
дважды ум. кварта -15 9 1 1 -1 16777216:14348907 270,67 feses cis—fes, fis-b, cisis—f
полудитон, м. терция -3 2 1 1 0 32:27 294,13 es d—f, es—ges
ув. секунда 9 -5 1 1 1 19683:16384 317,60 dis des—e, es—fis
ум. кварта -8 5 2 0 -1 8192:6561 384,36 fes cis—f, fis—b, dis—ges
дитон, б. терция 4 -2 2 0 0 81:64 407,82 e d—fis, eis-gisis
дважды ув. секунда 16 -9 2 0 1 43046721:33554432 431,28 disis ces—dis, es—fisis
дважды ум. квинта -13 8 2 1 -1 2097152:1594323 474,58 geses cis—ges, disis—a
кварта -1 1 2 1 0 4:3 498,04 f d—g, ces—fes
ув. терция 11 -6 2 1 1 177147:131072 521,51 eis des—fis, deses—f
дважды ум. секста -18 11 3 0 -2 536870912:387420489 564,81 aseses[4] cisis—as, cis—ases
ум. квинта
(комматический тритон[5])
-6 4 3 0 -1 1024:729 588,27 ges cis—g, H—f, e—b
тритон, ув. кварта 6 -3 3 0 0 729:512 611,73 fis f—b, des—g
дважды ув. терция 18 -10 3 0 1 387420489:268435456 635,19 eisis des—fisis, eses—gis
ум. секста
(«волчья квинта» Пифагорова строя)
-11 7 3 1 -1 262144:177147 678,49 ases cis—as, Gis—es
квинта 1 0 3 1 0 3:2 701,96 g d—a, dis—ais
дважды ув. кварта 13 -7 3 1 1 1594323:1048576 725,42 fisis des—gis, deses—a
дважды ум. септима -16 10 4 0 -2 67108864:43046721 768,72 heseses[4] cis—heses, cisis—b
м. секста -4 3 4 0 -1 128:81 792,18 as d—b, dis-h
ув. квинта (тетратон) 8 -4 4 0 0 6561:4096 815,64 gis des—a, eses—b
ум. септима -9 6 4 1 -1 32768:19683 882,40 heses cis—b, Gis—f
б. секста 3 -1 4 1 0 27:16 905,87 a d—h, Es—c
дважды ув. квинта 15 -8 4 1 1 14348907:8388608 929,33 gisis des—ais, deses—a
дважды ум. октава -14 9 5 0 -2 8388608:4782969 972,63 ceses1 Dis—des, Disis—d
м. септима -2 2 5 0 -1 16:9 996,09 b G—f, Des—ces
ув. секста (пентатон) 10 -5 5 0 0 59049:32768 1019,55 ais des—h, deses—b
ум. октава -7 5 5 1 -1 4096:2187 1086,31 ces1 Cis—c, Des—deses
б. септима 5 -2 5 1 0 243:128 1109,78 h cis—his
дважды ув. секста 17 -9 5 1 1 129140163:67108864 1133,24 aisis ces—ais, Eses—cis
ум. нона -12 8 6 0 -2 1048576:531441 1176,54 deses1 Dis—es, Eis—f
октава 0 1 6 0 -1 2:1 1200,00 c1

См.также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Натуральные интервалы, или интервалы натурального звукоряда между 1-м и 2-м, 2-м и 3-м обертонами обозначены соотношениями 1:2 и 2:3 соответственно
  2. Указанная формула получается логарифмированием неравенства 1\leqslant\left(\frac32\right)^{\mathrm Q}\cdot 2^{\mathrm O} < 2, однозначно определяющего зависимость величины O от величины Q.
  3. Увеличенная септима Пифагорова строя (например, chis) шире октавы (cc1) на Пифагорову комму.
  4. 1 2 3 Орфография буквенного обозначения ступени, отстоящей от с на данный интервал (дважды уменьшенная терция, секста или септима) требует указания «тройного бемоля» (-eseses), обозначающего понижение соответствующей диатонической ступени (в данном случае соответственно e, a и h) на три хроматических полутона; примеры тех же интервалов между другими ступенями, не требующими «тройных знаков альтерации», см. в колонке «Дополнительные примеры».
  5. То есть тритон, уменьшенный на (Пифагорову) комму.