Равномерно темперированный строй

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Равноме́рно темпери́рованный строй, равномерная темперация (нем. gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung) — темперированный музыкальный строй, в котором каждая октава делится на математически равные интервалы, в наиболее типичном случае — на двенадцать полутонов (каждый из которых равен 1:\sqrt[12]{2}). Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке (академической и эстрадной) начиная с XVIII века до наших дней.

Исторический очерк[править | править вики-текст]

Равномерно темперированный строй возник в обстановке поисков учёными разных специальностей «идеального» для музыки строя. Исторически предшествующие чистый и среднетоновый строи имел ряд недостатков — прежде всего, они не позволяли транспонировать и модулировать в отдалённые тональности без того, чтобы в ряде гармонически консонантных созвучий (прежде всего, трезвучий и их обращений) не возникал резкий (ясно ощутимый на слух) акустический диссонанс.

Непосредственным предшественником равномерно темперированного строя в Европе был «хорошо темперированный» строй — целое семейство неравномерных темпераций, позволявших более или менее успешно (с разной степенью «акустической чистоты») играть в любой из тональностей. Одним из теоретиков и пропагандистов[1] такого строя был немецкий музыкант Андреас Веркмейстер. Многие исследователи разделяют мнение, что «Хорошо темперированный клавир» Иоганна Себастьяна Баха, хорошо знакомого с работами Веркмейстера, написан для инструментов именно с такой неравномерной темперацией[2].

Невозможно с достоверностью указать, кто именно изобрёл равномерную темперацию. Одним из первых авторов, давших теоретическое обоснование 12-ступенной равномерной темперации, был китайский принц Чжу Цзайюй (朱載堉), в трактате 1584 года[3][4].

Среди первых теоретиков нового равномерно темперированного строя на Западе называют Генриха Грамматеуса (1518), Винченцо Галилея (1581) и Марена Мерсенна. Фламандский математик Симон Стевин в своём труде «О теории певческого искусства» (ок. 1585) дал математически точный расчёт равномерной темперации. Написанная на родном языке Стевина (фламандском) его работа не получила резонанса; посмертная слава пришла к Стевину спустя 300 лет, в 1884 году, когда она была опубликована (и вскоре переведёна на другие языки).

У нового строя были свои оппоненты (например, Джузеппе Тартини) и свои пропагандисты (например, Иоганн Георг Нейдхардт). Равномерно темперированный строй вызывал отклонения от акустической («природной») чистоты созвучий, в результате в них появились небольшие биения. По мнению одних, эти нарушения чистоты были незначительной потерей, особенно с учётом новых возможностей, которые такой строй давал развитию тональной гармонии. Другие же рассматривали потерю «природной» чистоты как посягательство на «чистоту» музыки.

Противоречивость эстетических критериев (природная чистота против модуляционной свободы и неограниченной транспозиции) отражалась в трудах теоретиков музыки. Так, Андреас Веркмейстер утверждал, что в новом строе все аккорды (подразумевались прежде всего трезвучия) приобретают монотонную симметрию, в то время как в «хороших» строях каждый аккорд имел своё неповторимое (акустическое) звучание. С другой стороны, он же в позднем трактате «Musikalische Paradoxal-Discourse» (1707) в полемике с коллегой И.Г. Нейдхардтом защищал свой приоритет в «изобретении» равномерно темперированного строя. Уже в XVIII веке свобода развёртывания тональности (а также свобода транспозиции) одержала верх над природной чистотой. В академической и эстрадной музыке равномерная темперация получила мировое признание и стала фактическим стандартом музыкального строя.

Вычисление частот звуков[править | править вики-текст]

Можно математически вычислить частоты для всего звукоряда, пользуясь формулой:

 f(i) = f_0 \cdot 2^{i/12} ,

где f0 — частота камертона (например Ля 440 Hz), а i — количество полутонов в интервале от искомого звука к эталону f0.

Последовательность вычисленных таким образом частот образует геометрическую прогрессию:

например, можно вычислить частоту звука на тон (2 полутона) ниже от камертона Ля — ноты соль:
 i=-2
 f(-2) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{-2/12} \approx {391,995}\,\mathrm{Hz}
если нам надо вычислить ноту Соль, но на октаву (12 полутонов) выше:
 i=12-2=10
 f(10) = 440\,\mathrm{Hz} \cdot 2^{10/12} \approx {783,991}\,\mathrm{Hz}

Частоты двух полученных нот Соль отличаются в два раза, что дает чистую октаву. Преимущества равномерной темперации также в том, что можно произвольно транспонировать пьесу на произвольный интервал вверх или вниз.

Сравнение с натуральным строем[править | править вики-текст]

Равномерно темперированный строй очень легко можно отобразить в виде измерения интервалов в центах

Тон C1 C# D Eb E F F# G G# A B H C2
Цент 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200

Следующая таблица показывает отличия интервалов равномерно-темперированного ряда с натуральным

Интервал Равномерно темперированные интервалы Натуральные интервалы Разница в центах
Прима \sqrt[12]{2^0} = 1 = 0\,\mathrm{Cent} \frac{1}{1} = 1 = 0\,\mathrm{Cent} 0
Малая секунда \sqrt[12]{2^1} = \sqrt[12]{2} \approx 1{,}059463 = 100\,\mathrm{Cent} \frac{16}{15} \approx 1{,}066667 \approx 111{,}73\,\mathrm{Cent} −11,73
Большая секунда \sqrt[12]{2^2} = \sqrt[6]{2} \approx 1{,}122462 = 200\,\mathrm{Cent} \frac{9}{8} = 1{,}125 \approx 203{,}91\,\mathrm{Cent} −3,91
Малая терция \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[4]{2} \approx 1{,}189207 = 300\,\mathrm{Cent} \frac{6}{5} = 1{,}2 \approx 315{,}64\,\mathrm{Cent} −15,64
Большая терция \sqrt[12]{2^4} = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}259921 = 400\,\mathrm{Cent} \frac{5}{4} = 1{,}25 \approx 386{,}31\,\mathrm{Cent} 13,69
Кварта \sqrt[12]{2^5} = \sqrt[12]{32} \approx 1{,}334840 = 500\,\mathrm{Cent} \frac{4}{3} \approx 1{,}333333 \approx 498{,}04\,\mathrm{Cent} 1,96
Тритон \sqrt[12]{2^6} = \sqrt{2} \approx 1{,}414214 = 600\,\mathrm{Cent} \frac{45}{32} \approx 1{,}406250 \approx 590{,}22\,\mathrm{Cent} 9,78
Квинта \sqrt[12]{2^7} = \sqrt[12]{128} \approx 1{,}498307 = 700\,\mathrm{Cent} \frac{3}{2} = 1{,}5 \approx 701{,}96\,\mathrm{Cent} −1,96
Малая секста \sqrt[12]{2^8} = \sqrt[3]{4} \approx 1{,}587401 = 800\,\mathrm{Cent} \frac{8}{5} = 1{,}6 \approx 813{,}69\,\mathrm{Cent} −13,69
Большая секста \sqrt[12]{2^9} = \sqrt[4]{8} \approx 1{,}681793 = 900\,\mathrm{Cent} \frac{5}{3} \approx 1{,}666667 \approx 884{,}36\,\mathrm{Cent} 15,64
Малая септима \sqrt[12]{2^{10}} = \sqrt[6]{32} \approx 1{,}781797 = 1000\,\mathrm{Cent} \frac{16}{9} \approx 1{,}777778 \approx 996{,}09\,\mathrm{Cent} 3,91
Большая септима \sqrt[12]{2^{11}} = \sqrt[12]{2048} \approx 1{,}887749 = 1100\,\mathrm{Cent} \frac{15}{8} = 1{,}875 \approx 1088{,}27\,\mathrm{Cent} 11,73
Октава \sqrt[12]{2^{12}} = 2 = 1200\,\mathrm{Cent} \frac{16}{8} = 2 = 1200\,\mathrm{Cent} 0

Расчёт конкретных высот применительно к клавиатуре фортепиано[править | править вики-текст]

Примечание. Значения частот рассчитаны исходя из стандартной частоты камертона ля1 = 440 Гц.

Субконтроктава[править | править вики-текст]

Охватывает звуки с частотами от 16,352 Гц (включительно) до 32,703 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 0-й

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 16,352 До2 C2 C0  Субконтроктава
2 18,354 Ре2 D2 D0
3 20,602 Ми2 E2 E0
4 21,827 Фа2 F2 F0
5 24,500 Соль2 G2 G0
6 27,500 Ля2 A2 A0
7 30,868 Си2 H2 B0

Контроктава[править | править вики-текст]

Охватывает звуки с частотами от 32,703 Гц (включительно) до 65,406 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 1.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 32,703 До1 C1 C1  Контроктава
2 36,708 Ре1 D1 D1
3 41,203 Ми1 E1 E1
4 43,654 Фа1 F1 F1
5 48,999 Соль1 G1 G1
6 55,000 Ля1 A1 A1
7 61,735 Си1 H1 B1

Большая октава[править | править вики-текст]

Охватывает звуки с частотами от 65,406 Гц (включительно) до 130,81 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 2.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 65,406 До C C2  Велика октава
2 73,416 Ре D D2
3 82,406 Ми E E2
4 87,307 Фа F F2
5 97,999 Соль G G2
6 110,00 Ля A A2
7 123,47 Си H B2

Малая октава[править | править вики-текст]

Охватывает звуки с частотами от 130,81 Гц (включительно) до 261,63 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 3.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 130,81 до c C3  Мала октава
2 146,83 ре d D3
3 164,81 ми e E3
4 174,61 фа f F3
5 196,00 соль g G3
6 220,00 ля a A3
7 246,94 си h B3

Первая октава[править | править вики-текст]

Включает звуки с частотами от 261,63 Гц (включительно) до 523,25 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 4.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 261,63 до1 c1 C4  Перша октава
2 293,67 ре1 d1 D4
3 329,63 ми1 e1 E4
4 349,23 фа1 f1 F4
5 392,00 соль1 g1 G4
6 440,00 ля1 a1 A4
7 493,88 си1 h1 B4

Вторая октава[править | править вики-текст]

Включает звуки с частотами от 523,25 Гц (включительно) до 1046,5 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 5.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 523,25 до2 c2 C5  Друга октава
2 587,33 ре2 d2 D5
3 659,26 ми2 e2 E5
4 698,46 фа2 f2 F5
5 783,99 соль2 g2 G5
6 880,00 ля2 a2 A5
7 987,77 си2 h2 B5

Третья октава[править | править вики-текст]

Включает звуки с частотами от 1046,5 Гц (включительно) до 2093,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 3 (или три штриха). В научной нотации имеет номер 6.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 1046,5 до3 c3 C6  Третья октава
2 1174,7 ре3 d3 D6
3 1318,5 ми3 e3 E6
4 1396,9 фа3 f3 F6
5 1568,0 соль3 g3 G6
6 1760,0 ля3 a3 A6
7 1975,5 си3 h3 B6

Четвертая октава[править | править вики-текст]

Включает звуки с частотами от 2093,0 Гц (включительно) до 4186,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 4 (или четыре штриха). В научной нотации имеет номер 7.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 2093,0 до4 c4 C7  Четвёртая октава
2 2349,3 ре4 d4 D7
3 2637,0 ми4 e4 E7
4 2793,8 фа4 f4 F7
5 3136,0 соль4 g4 G7
6 3520,0 ля4 a4 A7
7 3951,1 си4 h4 B7

Пятая октава[править | править вики-текст]

Включает звуки с частотами от 4186,0 Гц (включительно) до 8372,0 Гц. В нотации Гельмгольца наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 5 (или пять штрихов). В научной нотации имеет номер 8.

Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Классическая музыкальная нотация
1 4186,0 до5 c5 C8  Пятая октава
2 4698,6 ре5 d5 D8
3 5274,0 ми5 e5 E8
4 5587,7 фа5 f5 F8
5 6271,9 соль5 g5 G8
6 7040,0 ля5 a5 A8
7 7902,1 си5 h5 B8

Другие равномерные темперации[править | править вики-текст]

Существуют и другие равномерные темперации (РТ). Чтобы выражение n-тоновая РТ писать короче, может быть использовано сокращение n-тРТ[источник не указан 799 дней], где числу n соответствует количество тонов на октаву. Известны музыкальные произведения, написанные в 19-тРТ[5], 24-тРТ, 31-тРТ[6] и даже 53-тРТ[7]. Термин «равномерная темперация», без уточнений, обычно понимается как 12-тРТ.

Равномерные темперации могут также делить иной интервал, не только октаву, на целое число равных ступеней. Чтобы избежать неясности, в англоязычной литературе, например, широко используется словосочетание «equal divisions of an octave», или его сокращённая форма EDO. В русском языке одинаковый смысл передаёт словосочетание «равные деления октавы», или РДО. Поэтому 12-тРТ может переименовываться в 12РДО, 19-тРТ в 19РДО, и так далее[8].

Равномерно темперированный строй и другие строи[править | править вики-текст]

Наряду с господствующим равномерно темперированным строем в Европе существовали и существуют другие строи. Русский исследователь музыки XIX века Владимир Одоевский, например, написал так:

Русский простолюдин с музыкальным дарованием, у которого ухо ещё не испорчено ни уличными шарманками, ни итальянскою оперою, поет весьма верно; и по собственному чутью берет интервал весьма отчетливо, разумеется, не в нашей уродливой темперированной гамме <...> Я записывал с голоса [известного нашего русского певца Ивана Евстратиевича Молчанова, человека с чудною музыкальною организациею] весьма интересную песню: «У Троицы, у Сергия, было под Москвою» <...> заметил, что Si певца никак не подходит к моему фортепианному Si; и Молчанов также заметил, что здесь что-то не то <...> Это навело меня на мысль устроить фортепиано нетемперированное в такой системе, как обыкновенное. За основание я принял естественную гамму, вычисленную акустическими логарифмами по методе Прони; в этом энгармоническом клавицине все квинты чистые, диезы, отмеченные красным цветом, отделены от бемолей и по невозможности в самом механизме инструмента, я пожертвовал faЬ и utЬ, чтобы сохранить si# и mi#, потому что наши народные певцы — по непонятной для меня причине поют более в диезных нежели в бемольных тонах

— В. Ф. Одоевский[9]

Широкомасштабное движение музыкантов-аутентистов практикует воспроизведение музыки прошлого в тех строях, в которых исполняемая ими музыка была написана.

В неевропейской традиционной музыке сохраняется практика использования строев, отличающихся от равномерно темперированного, — во всех жанрах и формах мощной макамо-мугамной традиции[10], а также в индийской[11] и др.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. См. Werckmeister A. Musicae mathematicae hodegus curiosus… (1687), Musikalische Temperatur, oder… (1691)
  2. Bach J. S. J. S. Bach: The Well-Tempered Clavier. — Los Angeles, CA: Alfred Music Publishing, 2004. — P. 4. — ISBN 0882848313.
  3. Hart R. Quantifying Ritual: Political Cosmology, Courtly Music, and Precision Mathematics in Seventeenth-Century China
  4. См. en:Zhu Zaiyu, Prince of Zheng
  5. Nine Preludes for Two Pianos in 19-Tone Temperament by Joel Mandelbaum
  6. Concert No. 2 for two violins and orchestra by Henk Badings, 1969
  7. Letter from B. Cicovacki to P. Scaruffi (англ.):

    ... Иосип Славенски написал произведение для электронных инструментов с названием «Музыка в Натуральной тональной системе» (1937). В нём две части, первая написана для фисгармонии Бозанкета с 53 тонами в октаве...»

    …JOSIP STOLCER SLAVENSKI <...> composed a composition for electronic insruments with the title Music in the Natural Tonal System (1937). It includes two movements: the first movement is written for the Bosanquet enharmonium with 53 tones in an octave»)

  8. Алиева И. Микротональная нотация посредством числовых уточнений знаков альтерации (на примере звукоряда тара)
  9. Одоевский В. Ф. [«Русскии простолюдин...»]. Цит. из сборника В. Ф. Одоевский. Музыкально-литературное наследие.— М.: Государственное музыкальное издательство, 1956.— с. 481—482
  10. В отечественной науке на это указывал, начиная с конца 1920-х годов, выдающийся музыковед и этнограф В. М. Беляев; см. например, его работы: Туркменская музыка. Том 1. М., 1928 (совм. с В. А. Успенским); Руководство для обмера народных музыкальных инструментов, М., 1931; Музыкальные инструменты Узбекистана, М., 1933; Ладовые системы в музыке народов СССР // В.М.Беляев. [Сб. статей]. М.: Сов. композитор, 1990. Среди современных публикаций — доклад С. Агаевой и Ш. Гаджиева «О проблемах исследования звуковысотной системы азербайджанских мугамов». VII Междунар. симпозиум науч.-иссл. группы «Макам» при Междунар. Совете по трад. муз. ЮНЕСКО. Баку. 2011. С. 20-32; см. также упомянутую статью И. Алиевой. Краткий обзор и библиографию зарубежной литературы по данной тематике см. в O. Wright et al. Arab Music. I. Art Music // The New Grove Dictionary of Music and Musicians. London, New York, 2001; H. Farhat. Iran. II. Classical traditions. 2. Theory of intervals and scales, 3. The modal system. // ibid. Также см. 'Issam El-Mallah. Arab Music and Musical Notation. Hans Schneider Verlag. Tutzing. 2001; S. Marcus. The Interface between Theory and Practice: Intonation in Arab Music. Asian Music, Vol. 24, No. 2 (1993), pp. 39-58; H. Farhat. Scales and Intervals: Theory and Practice, Irish Musical Studies, i (1990), pp. 216–26.
  11. Краткий обзор и библиографию зарубежной литературы по данной тематике см. в Powers H. and Widdess R. India, subcontinent of. III. Theory and practice of classical music. 1. Tonal systems // The New Grove Dictionary of Music and Musicians. London, New York, 2001.