Преобразование Хаусхолдера

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование $\ H_u$ векторного пространства $\ V$ , которое описывает его отображение относительно гиперплоскости, которая проходит через начало координат.

Было предложено в 1958 американским математиком Элстоном Скоттом Хаусхолдером.

Определения [править]

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором $\ u$ , который ортогонален ей, а $\langle \cdot, \cdot \rangle$ — скалярное произведение в $\ V$ , тогда

$\ H_u(x) = x - 2\langle x,u \rangle u$

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

$\ H = I - 2 u u^\dagger .$

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Матрица Хаусхолдера является эрмитовой: $\ H = H^\dagger.$
Матрица Хаусхолдера является унитарной: $\ H^\dagger H = I.$
Значит она является инволюцией: $\ H^2 = I$ .
Преобразование $\ H_u(x)$ отображает точку $\ x$ в точку $\ x - 2\langle u,x\rangle u.$
Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение равное (-1), которое отвечает собственному вектору $\ u,$ , все другие собственные значения равны (+1).
Определитель матрицы Хаусхолдера равен (-1).