QR-разложение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

QR-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы.

Определение[править | править исходный текст]

Матрица A размера n\times n с комплексными элементами может быть представлена в виде:

A=QR,

где Q — унитарная матрица размера n\times n, а R — верхнетреугольная матрица размера n\times n.

В частном случае, когда матрица A состоит из вещественных чисел, Q является ортогональной матрицей (то есть Q^TQ=I, где I — единичная матрица).

По аналогии, можно определить варианты этого разложения: QL-, RQ-, и LQ-разложения, где L — нижнетреугольная матрица.

Свойства[править | править исходный текст]

Если A — квадратная невырожденная матрица, то существует единственное QR-разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы R должны быть положительными вещественными числами.

Алгоритмы[править | править исходный текст]

QR-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.

Альтернативные алгоритмы для вычисления QR-разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.