Проблема Плато

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проблема Плато

Дано две точки P_1(x_1 , y_1) и P_2(x_2 , y_2) плоскости xy, пусть x_1<\;x_2. Пусть далее y=y(x) — уравнение кривой. соединяющей точки P_1 и P_2, то есть

y_1=y(x_1) , y_2=y(x_2).

Кривая вращается вокруг оси x, заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, приходим к проблеме выбора функции y(x), для которой интеграл

S=2\pi\ \int\limits_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx

— площадь поверхности вращения — минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки P_1 и P_2, называются катеноидами. Обобщение выше сформулированной задачи состоит в следующем. Дана замкнутая (жорданова)кривая в пространстве. Найти поверхность, проходящую через эту кривую, так чтобы площадь, ограниченная кривой была наименьшей. Эта задача известна как проблема Плато.

За решение этой проблемы в 1930 году американский математик Джесси Дуглас получил Филдсовскую премию 1936 года.


Литература[править | править вики-текст]

Будылин А. М. Вариационное исчисление. Л.: СПбГУ, 2001

Ссылки[править | править вики-текст]