Проблема Плато

Проблема Плато

Дано две точки $P_1(x_1 , y_1)$ и $P_2(x_2 , y_2)$ плоскости $xy$, пусть $x_1<\;x_2$. Пусть далее $y=y(x)$ — уравнение кривой. соединяющей точки $P_1$ и $P_2$, то есть

$y_1=y(x_1)$ , $y_2=y(x_2)$.

Кривая вращается вокруг оси $x$, заметая некоторую поверхность вращения. Спрашивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую возможную площадь. Таким образом, приходим к проблеме выбора функции $y(x)$, для которой интеграл

$S=2\pi\ \int\limits_{x_1}^{x_2} y \sqrt{1+y^{'2}}\, dx$

— площадь поверхности вращения — минимален. Такие минимальные поверхности вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки $P_1$ и $P_2$, называются катеноидами. Обобщение выше сформулированной задачи состоит в следующем. Дана замкнутая (жорданова)кривая в пространстве. Найти поверхность, проходящую через эту кривую, так чтобы площадь, ограниченная кривой была наименьшей. Эта задача известна как проблема Плато.

За решение этой проблемы в 1930 году американский математик Джесси Дуглас получил Филдсовскую премию 1936 года.

Литература

Будылин А. М. Вариационное исчисление. Л.: СПбГУ, 2001

Ссылки

• http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/var.pdf