Граница (топология)

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Пусть $A\subset X.$ Точка $x_0\in X$ называется грани́чной то́чкой мно́жества $A$, если для любой её окрестности $U\in \mathcal{T}, U\ni x_0$ справедливо:

$U \cap A \neq \emptyset,\; U \cap A^{\complement} \neq \emptyset.$

Множество всех граничных точек множества $A$ называется границей и обозначается $\partial A.$

Свойства

• $\partial A = \partial \left(A^{\complement}\right);$
• $\partial A = \bar{A} \setminus A^\circ;$
• $\partial A$ — замкнутое множество;
• $A$ — открытое множество тогда и только тогда, когда $A \cap \partial A = \emptyset;$
• $A$ — замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A \subset A;$
• $A$ — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A = \emptyset;$
• $\partial \partial A \subset \partial A$, причем равенство $\partial \partial A = \partial A$ достигается тогда и только тогда, когда $(\partial A)^\circ = \emptyset;$
• $\partial \partial \partial A = \partial \partial A.$

Примеры

Рассмотрим числовую прямую $\mathbb{R}$ со стандартной топологией. Тогда: для $-\infty < a < b < +\infty$:

• Для $-\infty < a < b < +\infty$: $\partial (a,b) = \partial (a,b] = \partial [a,b) = \partial [a,b] = \{a,b\};$
• $\partial \mathbb{R} = \emptyset;$
• $\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}.$

См. также

• Край многообразия
• Замыкание (топология)