Граница (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Грани́ца мно́жества' — это такое множество, что его точки находятся сколь угодно близко как к точкам в множестве, так и к точкам вне множества.

Содержание

[править] Определение

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на X топология. Пусть A\subset X. Точка x_0\in X называется грани́чной то́чкой мно́жества A, если для любой её окрестности U\in \mathcal{T}, U\ni x_0 справедливо:

U \cap A \neq \emptyset,\; U \cap A^{\complement} \neq \emptyset.

Множество всех граничных точек множества A называется границей и обозначается \partial A.

[править] Свойства

  • \partial A = \partial \left(A^{\complement}\right);
  • \partial A = \bar{A} \setminus A^0;
  • \partial A — замкнутое множество;
  • A — открытое множество тогда и только тогда, когда A \cap \partial A = \emptyset;
  • A — замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A \subset A;
  • A — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A = \emptyset;
  • \partial \partial A \subset \partial A, причем равенство \partial \partial A = \partial A достигается тогда и только тогда, когда (\partial A)^0 = \emptyset;
  • \partial \partial \partial A = \partial \partial A.

[править] Примеры

Рассмотрим числовую прямую \mathbb{R} со стандартной топологией. Тогда: для -\infty < a < b < +\infty:

  • Для -\infty < a < b < +\infty: \partial (a,b) = \partial (a,b] = \partial [a,b) = \partial [a,b] = \{a,b\};
  • \partial \mathbb{R} = \emptyset;
  • \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}.

[править] См. также

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_(%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F)»