Граница (топология)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Грани́ца мно́жества Aмножество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано топологическое пространство (X,\mathcal{T}), где X — произвольное множество, а \mathcal{T} — определённая на X топология. Пусть A\subset X. Точка x_0\in X называется грани́чной то́чкой мно́жества A, если для любой её окрестности U\in \mathcal{T}, U\ni x_0 справедливо:

U \cap A \neq \varnothing,\; U \cap A^{\complement} \neq \varnothing.

Множество всех граничных точек множества A называется границей и обозначается \partial A.

Свойства[править | править вики-текст]

  • \partial A = \partial \left(A^{\complement}\right);
  • \partial A = \bar{A} \setminus A^\circ;
  • \partial Aзамкнутое множество;
  • Aоткрытое множество тогда и только тогда, когда A \cap \partial A = \emptyset;
  • A — замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A \subset A;
  • A — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда \partial A = \emptyset;
  • \partial \partial A \subset \partial A, причем равенство \partial \partial A = \partial A достигается тогда и только тогда, когда (\partial A)^\circ = \emptyset;
  • \partial \partial \partial A = \partial \partial A.

Примеры[править | править вики-текст]

Рассмотрим числовую прямую \mathbb{R} со стандартной топологией. Тогда: для -\infty < a < b < +\infty:

  • Для -\infty < a < b < +\infty: \partial (a,b) = \partial (a,b] = \partial [a,b) = \partial [a,b] = \{a,b\};
  • \partial \mathbb{R} = \varnothing;
  • \partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}.

См. также[править | править вики-текст]