Проективный модуль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Определение[править | править вики-текст]

Модуль P над кольцом A (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма g\colon P\to M и эпиморфизма f\colon N\to M существует такой гомоморфизм h\colon P\to N, что g = fh, то есть данная диаграмма коммутативна:

Диаграмма для проективного модуля

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль F. В самом деле, пусть x_1, x_2, \ldots, x_i,\ldots — элементы базиса модуля F и f(x_i) = y_i для некоторых y из C. Поскольку g — эпиморфизм, можно найти такие z_i, что g(z_i) = y_i. Тогда h определяется своими значениями на векторах базиса x(x_i) = z_i.

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль P проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль K, что прямая сумма F = P \oplus K свободна. В самом деле, если P есть компонента прямой суммы F, которая является свободным модулем, и g\colon P\to M — гомоморфизм, то fp_1 \colon F\to C тоже гомоморфизм (p_1 — проекция прямой суммы F на первое слагаемое P), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм h_1\colon F\to N, такой, что gp_1 = fh_1, отсюда g p_1 i_1 = f h_1 i_1, где i_1 — гомоморфизм включения P\to F, отсюда

g = fh_1 i_1\colon P\to M

Обратно, пусть P — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть g\colon F\to P — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм id\colon P\to P будет равен id = gh для некоторого h\colon P\to F, так как P проективен. Любой элемент F тогда представим в виде

x = hg(x) + (x-hg(x)) \in \mathrm{Im}\,h \oplus \mathrm{Ker}\,g,

где \mathrm{Im}\,h изоморфно P.

Свойства[править | править вики-текст]

  • P проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма f\colon N\to M индуцированный гомоморфизм f_* \colon \text{Hom}(P,N) \to \text{Hom}(P,M) является эпиморфизмом.
  • P проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность 0\to A \to B \to C \to 0 в точную последовательность 0\to \text{Hom}(P,A) \to \text{Hom}(P,B) \to \text{Hom}(P,C) \to 0.
  • Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960
  • Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966..