Гомологическая алгебра

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии. Первыми гомологические методы в алгебре, при изучении расширений групп, применили в 40-х годах XX века С. Эйленберг и С. Маклейн.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

Цепной комплекс

Цепной комплекс - это градуированный модуль $M=\bigoplus\limits_{n=0}^{\infty} M_n$ с дифференциалом $d:M\to M$, $d^2=0$ (что не выполняется для полусферы, являющейся проекцией 4-х мерного объекта), понижающим градуировку для цепного комплекса, $d(M_n)\subset M_{n-1}$, или повышающим градуировку для коцепного комплекса, $d(M_n)\subset M_{n+1}$.

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов - одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента

Проективной резольвентой модуля $A$, называется левый комплекс $\ldots\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\longrightarrow\ldots\stackrel{d_1}{\longrightarrow}X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}A\longrightarrow 0$, в котором все $X_n$ проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов $Tor_n (A, C)$ и $Ext^n (A, C)$. Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Литература

• А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
• С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
• Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
• Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.

Разделы математики

 

Портал «Наука»

Алгебра   Элементарная алгебра  • Линейная алгебра (Полилинейная алгебра)  • Общая алгебра Общая алгебра Коммутативная алгебра  • Теория представлений  • Дифференциальная алгебра  • Гомологическая алгебра  • Универсальная алгебра  • Теория категорий

Математический анализ   Вариационное исчисление  • Комплексный анализ  • Теория меры  • Функциональный анализ  • Гармонический анализ  • Нестандартный анализ

Геометрия и топология   Геометрия Алгебраическая геометрия  • Аналитическая геометрия  • Евклидова геометрия  • Неевклидова геометрия  • Планиметрия  • Стереометрия  • Тригонометрия Топология Общая топология  • Алгебраическая топология Смежные направления Дифференциальная геометрия и топология  • Геометрическая топология

Дискретная математика   Комбинаторика  • Теория графов  • Теория множеств  • Булева алгебра

Прикладная математика   Математическая физика  • Математическая химия  • Математическая статистика  • Математическое моделирование  • Теория алгоритмов  • Численные методы  • Математическая экономика, Финансовая математика  • Теория вероятностей  • Исследование операций

Математическая логика (алгебра логики)  • Теория чисел (арифметика)

Портал «Математика» | Категория «Математика»