Гомологическая алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гомологическая алгебра — ветвь алгебры, изучающая алгебраические объекты, заимствованные из алгебраической топологии. Первыми гомологические методы в алгебре применили в 40-х годах XX века С. Эйленберг и С. Маклейн при изучении расширений групп.

Гомологическая алгебра играет важную роль в алгебраической топологии, применяется во многих разделах алгебры, таких, как теория групп, теория алгебр, алгебраическая геометрия, теория Галуа.

Цепной комплекс[править | править исходный текст]

Цепной комплекс - это градуированный модуль M=\bigoplus\limits_{n=0}^{\infty} M_n с дифференциалом d:M\to M, d^2=0, понижающим градуировку для цепного комплекса, d(M_n)\subset M_{n-1}, или повышающим градуировку для коцепного комплекса, d(M_n)\subset M_{n+1}.

Одним из основных понятий гомологической алгебры является цепной комплекс. Цепные комплексы возникают в различных разделах математики: в алгебраической топологии, коммутативной алгебре, алгебраической геометрии. Изучение общих свойств комплексов - одна из основных задач гомологической алгебры.

Резольвента[править | править исходный текст]

Проективной резольвентой модуля A, называется левый комплекс \ldots\longrightarrow X_n\stackrel{d_n}{\longrightarrow}X_{n-1}\longrightarrow\ldots\stackrel{d_1}{\longrightarrow}X_0\stackrel{\varepsilon}{\longrightarrow}A\longrightarrow 0, в котором все X_n проективны и гомологии которого равны нулю, кроме нулевых.

Проективные резольвенты используются для вычисления функторов Tor_n (A, C) и Ext^n (A, C). Резольвенты возникли в алгебраической топологии для вычисления гомологий топологического произведения по гомологиям сомножителей по формуле Кюннета.

Производные функторы[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
  • С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
  • Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
  • Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.