Модуль над кольцом

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Мо́дуль над кольцо́м — одно из основных понятий в общей алгебре, являющееся обобщением двух алгебраических понятий — векторного пространства (фактически, векторное пространство — это модуль над полем), и абелевой группы (которая является модулем над кольцом целых чисел \Z).

Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как

Мотивировка[править | править вики-текст]

В векторном пространстве множество скаляров образует поле и умножение на скаляр удовлетворяет нескольким аксиомам, таким как дистрибутивность умножения. В модуле же требуется только, чтобы скаляры образовывали кольцо (ассоциативное с единицей), аксиомы же остаются теми же самыми.

Значительная часть теории модулей состоит из попыток обобщить на них известные свойства векторных пространств, иногда для этого приходится ограничиваться модулями над «хорошо ведущими себя» кольцами, такими как области главных идеалов. Однако в целом модули устроены более сложно, чем векторные пространства. Например, не в каждом модуле можно выбрать базис, и даже те, в которых это возможно могут иметь несколько базисов с различным числом элементов (в случае некоммутативного кольца).

Определения[править | править вики-текст]

Пусть  R\  — кольцо (как правило, считающееся коммутативным c единичным элементом).  R\ -модулем называется абелева группа  M\ с операцией умножения на элементы кольца  R\

R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,

которая удовлетворяет следующим условиям:

1) \forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1r_2)m=r_1(r_2m),
2) \exists 1\in R : \forall m\in M\quad 1m=m.
3) \forall m_1,m_2\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2,
4) \forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1+r_2)m=r_1m + r_2m.

Примечание: В случае некоммутативного кольца такие модули часто называются левыми. Правыми модулями называют в этом случае такие объекты, у которых условие 1) заменено следующим:

\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1r_2)m=r_2(r_1m), что гораздо удобнее формулировать, записывая элемент кольца при умножении справа от элемента модуля:

\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad m(r_1r_2)=(mr_1)r_2, отсюда и терминология.

В случае коммутативного кольца R определения левого и правого модуля совпадают и их называют просто модулями.

Любое кольцо R можно рассматривать как модуль над собой (в некоммутативном случае оно является также правым модулем над собой).

Связанные определения и свойства[править | править вики-текст]

  • Подмодулем модуля  M_R\ называется подгруппа  B\ группы  M\ , замкнутая относительно умножения на элементы из  R\ , то есть такая, что
\forall b \in B,\ r \in R\ : rb \in B.
  • Если кольцо R рассматривать как модуль над собой то его подмодули являются левыми идеалами, если кольцо рассматривать как правый модуль, то правыми идеалами, в коммутативном случае понятие левого и правого идеалов совпадают.
  • Гомоморфизмом или  R-гомоморфизмом  R-модулей A и B называется гомоморфизм групп \phi: A \to B, для которого выполнено дополнительное условие \phi(ra) = r\phi(a)  \forall a \in A, r \in R. Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через Hom_R (A,\ B). На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, — и + равенствами
0a = 0,\ (-\phi)a = - (\phi a),\ (\phi + \psi)a = \phi a + \psi a.
a\sim b тогда и только тогда, когда b-a принадлежит N.
Элементы фактормодуля обычно обозначают как [a]=\{a+n: n\in N\}=a+N. Операции сложения и умножения определяются формулами (a+N)+(b+N)=(a+b+N), r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N).

Примеры[править | править вики-текст]

  • Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
  • Линейное пространство над полем F является модулем над F.
  • Линейное пространство V — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований L(V)
  • Дифференциальные формы на гладком многообразии M снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на M.
  • Если I — левый идеал кольца R, он будет левым модулем над этим кольцом. Аналогично, правые идеалы будут правыми модулями.

Типы модулей[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, то есть \Z-модули) появляются уже у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 60—80-х гг. XIX века в работах Дедекинда и Кронекера, посвящённых арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, Ф.Фробениус), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Э.Нётер и В.Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.