Модуль над кольцом

Мо́дуль над кольцо́м — одно из основных понятий в общей алгебре, являющееся обобщением двух алгебраических понятий — векторного пространства (здесь кольцом является поле), и абелевой группы (где кольцо совпадает с кольцом целых чисел $\Z$).

Понятие модуля лежит в основе коммутативной алгебры, которая играет важную роль в различных областях математики, таких как

• алгебраическая геометрия,
• гомологическая алгебра,
• теория представлений групп.

Определения

Пусть $R\$ — кольцо (как правило, считающееся коммутативным c единичным элементом). $R\$-модулем называется абелева группа $M\$ с операцией умножения на элементы кольца $R\$

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,$

которая удовлетворяет следующим условиям:

1) $\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1r_2)m=r_1(r_2m),$

2) $\exists 1\in R : \forall m\in M\quad 1m=m.$

3) $\forall m_1,m_2\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_1+m_2)=rm_1+rm_2,$

4) $\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1+r_2)m=r_1m + r_2m.$

Примечание: В случае некоммутативного кольца такие модули часто называются левыми. Правыми модулями называют в этом случае такие объекты, у которых условие 1) заменено следующим:

$\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad (r_1r_2)m=r_2(r_1m),$ что гораздо удобнее формулировать, записывая элемент кольца при умножении справа от элемента модуля:

$\forall m\in M,\,\forall r_1,r_2\in R\quad m(r_1r_2)=(mr_1)r_2,$ отсюда и терминология.

Любое кольцо R можно рассматривать как модуль над собой (в некоммутативном случае оно является также правым модулем над собой).

Модуль называется простым, если он не содержит нетривиальных подмодулей.

Модуль E называется полупростым, если выполняются следующие эквивалентные условия:

1) E разлагается в сумму простых модулей,

2) E разлагается в прямую сумму простых модулей,

3) для любого подмодуля F существует подмодуль G, что их прямая сумма есть E.

Связанные определения и свойства

• Подмодулем модуля $M_R\$ называется подгруппа $B\$ группы $M\$, замкнутая относительно умножения на элементы из $R\$, т. е. такая, что

$\forall b \in B,\ r \in R\ : rb \in B$.

• Если кольцо R рассматривать как модуль над собой то его подмодули являются левыми идеалами, если кольцо рассматривать как правый модуль, то правыми идеалами, в коммутативном случае понятие левого и правого идеалов совпадают.

• Гомоморфизмом или $R$-гомоморфизмом $R$-модулей $A$ и $B$ называется гомоморфизм групп $\phi: A \to B$, для которого выполнено дополнительное условие $\phi(ra) = r\phi(a) \forall a \in A, r \in R$. Множество всех таких гомоморфизмов обозначают через $Hom_R (A,\ B)$. На этом множестве можно ввести структуру абелевой группы, определяя 0, - и + равенствами

$0a = 0,\ (-\phi)a = - (\phi a),\ (\phi + \psi)a = \phi a + \psi a$.

• Модуль называют артиновым (нётеровым), если каждая убывающая (возрастающая) последовательнось его подмодулей стабилизируется за конечное число шагов.

Примеры

• Любая абелева группа — модуль над кольцом целых чисел.
• Линейное пространство над полем $F$ является модулем над $F$.
• Линейное пространство $V$ — модуль над кольцом всех своих линейных преобразований $L(V)$
• Дифференциальные формы на гладком многообразии $M$ снабжены естественной структурой модуля над кольцом всех гладких функций на $M$.

История

Простейшие примеры модулей (конечные абелевы группы, т.е. $\Z$-модули) появляются уже у Гаусса как группы классов бинарных квадратичных форм. Общее понятие модуля встречается впервые в 60—80-х гг. XIX века в работах Дедекинда и Кронекера, посвящённых арифметике полей алгебраических чисел и алгебраических функций. Проводившееся примерно в это же время исследование конечномерных ассоциативных алгебр, и в частности групповых алгебр конечных групп (Б. Пирс, Ф.Фробениус), привело к изучению идеалов некоторых некоммутативных колец. Первоначально теория модулей развивалась преимущественно как теория идеалов некоторого кольца. Лишь позднее в работах Э.Нётер и В.Крулля (W. Krull) было замечено, что многие результаты удобнее формулировать и доказывать в терминах произвольных модулей, а не только идеалов.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.