Простое число Фибоначчи — Вифериха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Question mark2.svg
Нерешённые проблемы математики: Существуют ли простые числа Фибоначчи — Вифериха? Если да, конечно ли их количество?

Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня, англ. Wall – Sun – Sun) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи. По состоянию на 2013 год ни одного такого числа не найдено.

Определение[править | править вики-текст]

Простое p>5 называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если p^2 делит число Фибоначчи F_{p - \left(\frac{{p}}{{5}}\right)}, где символ Лежандра \left(\tfrac{p}{5}\right) определяется как:

\left(\frac{p}{5}\right) = \begin{cases} 1, &\text{if}\ p \equiv \pm1 \pmod 5\\ -1, &\text{if}\ p \equiv \pm2 \pmod 5 \end{cases}

Эквивалентное определение: простое p называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если L_p \equiv 1 \pmod {p^2}, где L_p — p-ое число Люка.[1]:42

Существование[править | править вики-текст]

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много[2], однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош (Richard J. McIntosh) и Эрик Рётгер (Eric L. Roettger) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2·1014[3], в 2010 году Франсуа Дорэ (François G. Dorais) и Доминик Клайв (Dominic Klyve) довели границу до 9,7·1014[4]. В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid[5], в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5·1016 и продолжает поиск[6].

История[править | править вики-текст]

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь Дональда Уолла (Donald Dines Wall)[7], Чжи Хон Суня (Zhi Hong Sun) и Чжи Вэй Суня (Zhi Wei Sun), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого p, то p должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха[8]. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример.

Обобщения[править | править вики-текст]

Простым (числом) Трибоначчи — Вифериха называется простое число, квадрат которого делит T_{p - \left(\frac{{p}}{{5}}\right)} число трибоначчи.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Vladica, A. (2006). «On Fibonacci powers». Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 17: 38-44. DOI:10.2298/PETF0617038A.
  2. Klaška, Jiří (2007), "«Short remark on Fibonacci−Wieferich primes»", Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis Т. 15 (1): 21–25, <http://dml.cz/dmlcz/137492> 
  3. McIntosh, R. J. (2007). «A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes». Mathematics of Computation 76 (260): 2087–2094. DOI:10.1090/S0025-5718-07-01955-2.
  4. Dorais, F. G. (2010). «Near Wieferich primes up to 6.7 × 1015».
  5. PrimeGrid Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches
  6. Wall-Sun-Sun Prime Search project at PrimeGrid
  7. Wall, D. D. (1960), "«Fibonacci Series Modulo m»", American Mathematical Monthly Т. 67 (6): 525–532, DOI 10.2307/2309169 
  8. Sun, Zhi-Hong & Sun, Zhi-Wei (1992), "«Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem»", Acta Arithmetica Т. 60 (4): 371–388, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa60/aa6046.pdf> 

Литература[править | править вики-текст]

  • Crandall, Richard E. & Pomerance, Carl (2001), «Prime Numbers: A Computational Perspective», Springer, с. 29, ISBN 0-387-94777-9 

Ссылки[править | править вики-текст]