Простое число Вифериха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел простым числом Вифериха называется простое число p, такое, что p^2 делит 2^{p-1}-1 [1], что является усилением утверждения малой теоремы Ферма, утверждающей, что любое нечетное простое p делит 2^{p-1}-1. Эти простые числа впервые описаны Артуром Виферихом (Arthur Wieferich) в 1909-ом году в работе, относящейся к великой теореме Ферма. К тому времени обе теоремы Ферма были хорошо известны математикам.[2][3]

С тех пор были обнаружены связи между простыми числами Вифериха и различными другими объектами математики, в том числе и другими типами простых чисел (числа Мерсенна и Ферма), особыми типами псевдопростых чисел и некоторыми обобщениями самих простых чисел Вифериха. Со временем открытые связи были распространены на некоторые другие свойства простых чисел, а также на общие объекты, такие как числовое поле и abc-гипотеза.

Несмотря на многочисленные попытки широкого поиска, известны только два простых числа Вифериха – это 1093 и 3511 (последовательность A001220 в OEIS).

Объяснение свойств простых чисел Вифериха[править | править вики-текст]

Усиленный вариант малой теоремой Ферма, которой удовлетворяют простые числа Вифериха, обычно выражается в виде сравнения по модулю 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}. Из определения сравнения следует, что это свойство эквивалентно определению, данному в начале статьи. Таким образом, если простое p удовлетворяет сравнению, это простое делит частное Ферма \tfrac{2^{p-1}-1}{p}.

Приведём два примера:

Для p = 11 мы получаем \tfrac{2^{10}-1}{11}, что дает число 93, имеющее остаток от деления на 11, равный 5. Таким образом, 11 не является простым числом Вифериха.

Для p = 1093, мы получаем \tfrac{2^{1092}-1}{1093} или 530585362....3096656895 (320 цифр в середине опущены) и это число дает остаток 0 при делении на 1093, так что 1093 является простым числом Вифериха.

История и состояние поиска[править | править вики-текст]

В 1902-ом году Майер (W. F. Meyer) доказал теорему о решении сравнения a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p^r} .[4]:930 Позже, в то же десятилетие, Артур Виферих показал, что если первый случай великой теоремы Ферма имеет решение для нечётной простой степени, то это простое должно удовлетворять сравнению для a=2 и r=2. Другими словами, если существует решение x^p+y^p+z^p=0 в целых x,y,z и p – нечетное простое, не делящее xyz (p\nmid xyz), то p удовлетворяет 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}. В 1913-ом году Бахман (Paul Gustav Heinrich Bachmann) исследовал остаток \tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p. Он поставил вопрос - когда этот остаток превращается в ноль и попытался найти формулы для ответа на поставленный вопрос.[5]

В 1913-ом году Вальдемар Майснер (Waldemar Meissner) обнаружил, что простое число 1093 является простым Вифериха. Он же показал, что это единственное простое меньшее 2000. Он вычислил наименьший остаток \tfrac{2^{t}-1}{p}\,\bmod\,p для всех простых p<2000 и обнаружил, что этот остаток равен нулю для t=364 и p=1093, тем самым нашел контрпример гипотезе Граве (Grawe) о невозможности сравнения Вифериха.[6]

Позднее Хентцшель (E. Haentzschel) потребовал перепроверки правильности вычислений Майснера с использованием только элементарных операций.[7]:664 Вдохновлённый ранней работой Эйлера, он упростил доказательство Майснера, показав, что 1093^2\mid 2^{182}+1 и заметил, что 2^{182}+1 является делителем 2^{364}-1.[8] Было также показано, что можно проверить, является ли 1093 простым числом Майснера, не используя комплексных чисел в противоположность методу, использованному Майснером,[9] хотя сам Майснер давал понять, что он знает о возможности такого доказательства.[6]:665

В 1922-ом году Н. Г. В. Х. Бегер (N. G. W. H. Beeger) обнаружил, что простое число 3511 является простым числом Вифериха [10] Другое доказательство принадлежности 3511 к простым числам Вифериха, было опубликовано в 1965-ом Гаем (Richard K. Guy).[11] В 1960-ом году Кравиц (Kravitz)[12] удвоил рекорд проверенных чисел, которое до этого установил Фрёберг (Fröberg)[13] В 1961-ом году Ризель (Riesel) расширил поиск до 500000 с помощью BESK.[14] Около 1980-го Лемер (Lehmer) смог достичь предела 6·109.[15] Этот предел поиска был сдвинут к 2.5·1015 в 2006-ом,[16] а затем и 3·1015. Сейчас известно, что если существуют какие-либо другие простые числа Вифериха, они должны быть не меньше 6.7·1015.[17] Поиск новых простых чисел Вифериха в настоящее время осуществляется в проекте распределённых вычислений Wieferich@Home. В декабре 2011-ого года стартовал еще один проект – PrimeGrid.[18] К декабрю 2012-ого года достиг предела поиска 72·1015 и поиск продолжается.[19]

Крис Колдуэлл (Chris Caldwell) предположил, что существует конечное число простых чисел Вифериха.[1] Было высказана также противоположная гипотеза, что (как и для простых Вильсона) существует бесконечно много простых чисел Вифериха, и что число простых Вифериха, меньших x, оценивается значением \ln\ln x, что является эвристическим результатом, следующим из правдоподобного предположения, что для простого p (p-1)-тая степень корня из единицы по модулю p^2 равномерно распределена на мультипликативной группе целых чисел по модулю p^2]].[20]

Свойства[править | править вики-текст]

Связь с великой теоремой Ферма[править | править вики-текст]

Следующая теорема, доказанная Виферихом в 1909-ом, связывает простые числа Вифериха и великую теорема Ферма:[21]

Пусть p – простое, и пусть x,y,zцелые числа, такие, что x^p+y^p+z^p=0. Предположим далее, что p не делит произведение xyz. Тогда p – простое число Вифериха.

Условие «где p не делит любое из x,y или z» известно как первый случай великой теоремы Ферма (FLTI)[22][23]. FLTI неверна для простого p, если решение уравнения Ферма существует для p, в противном случае FLTI для p выполняется.[24] В 1910-ом году Мириманов расширил [25] теорему, показав, что, если условия теоремы выполняются для некоторого простого p, то p^2 должно также делить 3^{p-1}-1. Позднее Гранвиль (Granville) и Монаган (Monagan) доказали, что p^2 должно делить m^{p-1}-1 для любого простого m\leqslant 89.[26] Судзуки (Suzuki) распространил доказательство на все простые m\leqslant 113.[27]

Пусть H_p – множество пар целых и их наибольший общий делитель равен 1.

Пусть \xi=\cos 2\pi/p +i\sin 2\pi/p, K=\mathbb{Q}(\xi) является расширением поля, получаемого включением всех многочленов от алгебраического числа \xi в поле рациональных числ (такое расширение известно как числовое поле или, в данном случае, где ξ - корни из единицы, круговым числовым полем).[26]:332

Пусть H_p – множество пар (x,y), удовлетворяющих свойствам:

  • i НОД(x,y)=1
  • ii p - взаимно просто с x,y и x+y
  • iii (x+y)^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}
  • iv x+\xi yp-ая степень идеала K.

Из единственности факторизации идеалов в \mathbb{Q}(\xi) следует, что если x,y,z являются решением (первого случая) великой теоремы Ферма, то p делит x+y+z, а (x,y),(y,z) и (z,x) являются элементами H_p.[26]:333 Гранвиль (Granville) и Монаган (Monagan) показали, что (1,1)\in H_p тогда и только тогда, когда p является простым числом Вифериха.[26]:333

Связь с abc-гипотезой и простыми числами не-Вифериха[править | править вики-текст]

Простое число не-Вифериха – это простое p, удовлетворяющее условию 2^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}. Д.Х. Силвермен (Joseph H. Silverman) в 1988-ом году показал, что если abc-гипотеза верна, то существует бесконечно много простых не-Вифериха.[28]

Говоря точнее, он показал, что из верности abc-гипотезы следует, что количество простых не-Вифериха для p<X больше C\ln X для некоторой константы C.[29]:227

Множество простых чисел Вифериха и множество простых не-Вифериха, иногда обозначаемые как W_1 и W_2^c соответственно,[30] являются дополнительными множествами, так что конечность одного из них влечет бесконечность другого (поскольку вместе они дают множество простых чисел). Было показано, что существование бесконечного количества чисел не-Вифериха следует из ослабленной версии abc-гипотезы, называемой ABC-(k, ε) гипотезой.[31]

Вдобавок, существование бесконечного количества чисел не-Вифериха вытекает также из существования бесконечного количества свободных от квадратов чисел Мерсенна[32]

Это же вытекает из существования вещественного \xi, такого, что множество \{n\in\mathbb{N}:\lambda (2^n-1)<2-\xi\} имеет плотность 1. Здесь индекс сложности \lambda(n) для целого n определяется как \tfrac{\log n}{\log \gamma (n)} и \gamma (n) = \prod_{p \mid n} p, где \gamma (n) - произведение всех простых множителй n.[30]:4

Связь с простыми числами Мерсенна и Ферма[править | править вики-текст]

Известно, что n-ое число Мерсенна M_n=2^n-1 является простым только если n – простое. Из малой теоремы Ферма следует, что, если p>2 является простым, M_{p-1}(=2^{p-1}-1) делится на p. Поскольку числа Мерсенна с простыми индексами M_p и M_q взаимно просты, простой делитель p числа M_q, где q – простое, является простым числом Вифериха тогда и только тогда, когда p^2 делит M_q.[33]

Таким образом, простое число Мерсенна не может быть также простым Вифериха.

Интересная проблема остается нерешенной: все ли числа Мерсенна с простым индексом свободны от квадратов. Если число Мерсенна M_q не свободна от квадратов, то существует простое p, для которого p^2 делит M_q, что означает, что p – простое число Вифериха. Таким образом, если простых чисел Вифериха конечное число, то должно быть по меньшей мере конечное число не свободных от квадратов чисел Мерсенна. Роткевич (Rotkiewicz) показал, что обратное тоже верно, то есть, если имеется бесконечно много свободных от квадратов чисел Мерсенна, то и простых чисел не-Вифериха тоже бесконечно много.[34]

Подобным образом, если p – простое, и p^2 делит число Ферма F_n=2^{2^n}+1, то p должно быть простым числом Вифериха.[35]

Для простых 1093 и 3511 было показано, что ни одно из них не является делителем какого-либо числа Мерсенна или Ферма.[36]

Связь с другими равенствами[править | править вики-текст]

Скотт (Scott) и Стайер (Styer) показали, что равенство p^x-2^y=d имеет максимум одно решение в положительных целых (x,y), если p^4\nmid 2^{\operatorname{ord}_p(2)}-1 при p\not\equiv 65\pmod{192} или p^2\nmid 2^{\operatorname{ord}_p(2)}-1, где \operatorname{ord}_p(2) означает мультипликативный порядок числа 2 по модулю p.[37]:215, 217–218

Они также показали, что решения уравнения \pm a^{x_1}\pm 2^{y_1}=\pm a^{x_2}\pm 2^{y_2}=c должны принадлежать определенному множеству, но утверждение перестает быть верным, если a – простое число Вифериха, большее 1,25\times 10^{15}.[38]:258

Бинарная периодичность p−1[править | править вики-текст]

Джонсон (Johnson) заметил[39], что два известных простых числа Вифериха на единицу больше чисел с периодическим двоичным представлением (1092 = 010001000100_2; \ 3510 = 110110110110_2). Проект Wieferich@Home ищет простые числа Вифериха путем проверки чисел, на единицу больших чисел с периодическим двоичным представлением, но среди чисел длиной до 3500 бит и периодом до 24 бит не было найдено ни одного нового простого числа Вифериха.[40]

Эквивалентные сравнения[править | править вики-текст]

Простые числа Вифериха могут быт определены другим сравнением, эквивалентным тому, которое обычно используют.

Если p простое число Вифериха, можно умножить обе части сравнения 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2} на 2 и получим 2^p\equiv 2\pmod{p^2}. Возведя обе части сравнения в степень p, получим 2^{p^2}\equiv 2^p\equiv 2\pmod{p^2}, откуда 2^{p^k}\equiv 2\pmod{p^2} для всех k\geqslant 1.

Обратное тоже верно: Из 2^{p^k}\equiv 2\pmod{p^2} для всех k\geqslant 1 следует, что мультипликативный порядок числа 2 по модулю p^2 делит НОД(p^k-1,\varphi (p^2))=p-1, где \varphi -функция Эйлера, так что, 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2} и число p является простым Вифериха.

Бояи показал, что если p и q просты, a – положительное целое, не делящееся на p и q, такое что a^{p-1}\equiv 1\pmod q, \ a^{q-1}\equiv 1\pmod p, то a^{pq-1}\equiv 1\pmod{pq}. Полагая p=q, получим a^{p^2-1}\equiv 1\pmod{p^2}.[41]:284 А a^{p^2-1}\equiv 1\pmod{p^2} в силу теоремы Эйлера равносильно a^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}.[41]:285-286

Связь с псевдопростыми числами[править | править вики-текст]

Было замечено, что оба известных простых числа Вифериха делят все несвободные от квадратов по базе 2 псевдопростые числа до 25\cdot 10^9.[42] Более поздние вычисления показали, что повторяющимися множителями псевдопростых чисел до 10^{12} являются только 1093 и 3511.[43]

Существует следующая связь: Пусть n – псевдопростое по базису 2 и p - простой делитель n. Если \tfrac{2^{n-1}-1}{n}\not\equiv 0 \pmod{p}, то \tfrac{2^{p-1}-1}{p}\not\equiv 0 \pmod{p}.[24]:378

Далее, если p – простое число Вифериха, то p^2 псевдопростое Каталана (Catalan).[44]

Связь с Ориентированными графами[править | править вики-текст]

Для всех простых до 100000 L(p^{n+1})=L(p^n) только в двух случаях: L(1093^2)=L(1093)=364 и L(3511^2)=L(3511)=1755, где m – модуль диаграммы удваивания и L(m) дает число вершин в цикле, образованном единицей. Термин диаграмма удваивания относится к ориентированному графу с 0 и натуральными числами, меньшими m в качестве вершин и дугами, идущими из вершины x в вершину 2x по модулю m.[45]:74 Было установлено, что для всех нечетных простых чисел либо L(p^{n+1})=p\times L(p^n), либо L(p^{n+1})=L(p^n).[45]:75

Свойства, связанные с числовыми полями[править | править вики-текст]

Было установлено, что \chi_{D_{0}} \big(p \big) = 1 и \lambda\,\!_p \big( \mathbb{Q} \big(\sqrt{D_{0}} \big) \big) = 1 тогда и только тогда, когда 2^{p-1}\not\equiv 1\pmod{p^2}, где p – нечетное простое и D_{0} < 0 - фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля \mathbb{Q} \big(\sqrt{1 - p^2} \big).

Также было показано следующее:

Пусть p – простое число Вифериха. Если p\equiv 3\pmod 4, пусть D_{0} < 0 - фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля \mathbb{Q} \big(\sqrt{1 - p} \big)

Если p\equiv 1\pmod 4, пусть D_{0} < 0 - фундаментальный дискриминант комплексного квадратичного поля \mathbb{Q} \big(\sqrt{4 - p} \big).

Тогда \chi_{D_{0}} \big(p \big) = 1 и \lambda\,\!_p \big( \mathbb{Q} \big(\sqrt{D_{0}} \big) \big) = 1 (\chi и \lambda в этом контексте означают инвариант Ивасава (Iwasawa)).[46]:27

Также было установлено:

Пусть q – нечетное простое число, k и p – простые, такие, что p=2k+1, k\equiv 3\pmod 4, p\equiv -1\pmod q, p\not\equiv -1\pmod {q^3} и порядок q по модулю k равен \tfrac{k-1}{2}.

Предположим, что q делит h^+ - число классов вещественного кругового поля \mathbb{Q} \big( \zeta\,\!_p + \zeta\,\!_p^{-1} \big), полученного добавлением к полю рациональных чисел суммы p-ого корня из единицы и обратного к нему элемента.

Тогда q – простое число Вифериха.[47]:55

Это остается верным если условия p\equiv -1\pmod q, p\not\equiv -1\pmod {q^3} заменить на p\equiv -3\pmod q, p\not\equiv -3\pmod {q^3}

Утверждение остается верным и при замене условия p\equiv -1\pmod q на p\equiv -5\pmod q, (в этом случае q будет простым числом Фибоначи-Вифериха), а неравенство заменится на p\not\equiv -5\pmod {q^3}.[48]:376

Периоды простых чисел Вифериха[править | править вики-текст]

Пусть период p числа x по базису b – период дроби \tfrac{1}{x} по базису b. Например, период числа 3 по базису 10 равен 1, что обычно записывается как 0,(3), в то время как период числа 3 по базису 2 равен 2 и число можно записать как 0,(01). В общем случае, период p числа x является показателем b по модулю x.[49]:314 Простое число Вифериха по базису b – это простое x, удовлетворяющее сравнению b^{x-1}\equiv 1\pmod{x^2}. Если x^2 делит b^{p-1}-1, период x^2 имеет тот же период, что и x, и такие простые известны как простые с квадратным периодом.[49]:316 Гарца (Garza) и Янг (Young) утверждают, что период числа 1093 равен 1092 и он равен периоду числа 10932,[49]:314.

Порядок числа 2 по модулю степеней простых чисел Вифериха[править | править вики-текст]

Только простые 1093 и 3511 среди чисел до 4\cdot 10^{12} удовлетворяют \operatorname{ord}_{p^2}(2)=\operatorname{ord}_p(2) и известно, что \operatorname{ord}_{1093}(2)=364 и \operatorname{ord}_{3511}(2)=1755.[50][51]

Х. С. Вандивер (H. S. Vandiver) показал, что 2^{p-1}\equiv 1\pmod{p^3} тогда и только тогда, когда 1 + \tfrac{1}{3} + \dots + \tfrac{1}{p-2} \equiv 0 \pmod{p^2}.[52]:187

Обобщения[править | править вики-текст]

Почти простые числа Вифериха[править | править вики-текст]

Простое p, удовлетворяющее сравнению 2^{\frac{p-1}{2}}\equiv \pm 1+Ap\pmod{p^2} с малым |A| обычно называются почти простым числа Вифериха (последовательность A195988 в OEIS).[20][53] Почти простые числа Вифериха с A=0 представляют собой простые числа Вифериха.

Проекты распределенных вычислений с недавнего времени в дополнение к основному поиску простых чисел Вифериха пытались обнаружить и почти простые числа Вифериха.[17][54]

Следующая таблица представляет все почти простые числа Вифериха с |A|\leqslant 10 в интервале [10^9,3\cdot 10^{15}].[55] Этот интервал был достигнут поиском, организованном Карлайлом (P. Carlisle), Крэндаллом (R. Crandall) и Роденкирхом (M. Rodenkirch).[16][56]

p 1 или −1 A
3520624567 +1 −6
46262476201 +1 +5
47004625957 −1 +1
58481216789 −1 +5
76843523891 −1 +1
1180032105761 +1 −6
12456646902457 +1 +2
134257821895921 +1 +10
339258218134349 −1 +2
2276306935816523 −1 −3

Доре (Dorais) и Клайв (Klyve)[17] использовали другое определение почти простых чисел Вифериха, а именно, как простое p с малым значением \left|\tfrac{\omega(p)}{p}\right|, где \omega(p)=\tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p — частное Ферма для числа 2 по модулю p'.

Следующая таблица показывает все простые p\leqslant 6,7\times 10^{15} с \left|\tfrac{\omega(p)}p\right|\leq 10^{-14}.

p \omega(p) \left|\tfrac{\omega(p)}{p}\right|\times 10^{14}
1093 0 0
3511 0 0
2276306935816523 +6 0.264
3167939147662997 −17 0.537
3723113065138349 −36 0.967
5131427559624857 −36 0.702
5294488110626977 −31 0.586
6517506365514181 +58 0.890

Простые числа Вифериха по базе a[править | править вики-текст]

Простым числом Вифериха по базе a называется простое p, удовлетворяющее сравнению

a^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}.[4]

Такие простые не могут делить a, поскольку тогда они должны делить и 1.

Пары Вифериха[править | править вики-текст]

Парой Вифериха называется пара простых p,q, удовлетворяющих

p^{q-1}\equiv 1\pmod{q^2}, \ q^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}

Таким образом, простое число Вифериха p\equiv 1\pmod 4 образует пару (p,2). Единственное известное число для этого случая – это p=1093. Известно 6 пар Вифериха.[57]

Числа Вифериха[править | править вики-текст]

Числом Вифериха называется нечетное целое w\geqslant 3, удовлетворяющее сравнению 2^{\varphi(w)}\equiv 1\pmod{w^2}, где \varphi означает функцию Эйлера. Если число Вифериха w является простым, то оно также является простым числом Вифериха.

Несколько первых чисел Вифериха:

1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, … последовательность A077816 в OEIS

Можно показать, что если имеется только конечное число простых чисел Вифериха, то и количество чисел Вифериха конечно. В частности, если простые числа Вифериха только 1093 и 3511, то существует точно 104 чисел Вифериха, и они соответствуют тем числам, которые известны на данный момент.[58]

Обобщая, целое w является числом Вифериха по базе a если a^{\varphi(w)}\equiv 1\pmod{w^2}.[59]:31

По другому определению числом Вифериха называется положительное нечетное q, такое, что q и \tfrac{2^m-1}{q} не взаимно просты, где mпоказатель 2 по модулю q. Первые несколько этих чисел:[60]

21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, … последовательность A182297 в OEIS

Как и выше, если число Вифериха q является простым, то оно является простым числом Вифериха.

Простые числа Люка-Вифериха[править | править вики-текст]

Простым числом Люка-Вифериха , соответствующим паре целых (P,Q) называется простое p, такое, что U_{p-\varepsilon}(P,Q)\equiv 0\pmod{p^2}, где U_n(P,Q) означает последовательность Люка первого вида и \varepsilon – это значение символа Лежандра P^2-4Q по модулю p. Все простые числа Вифериха являются простыми числами Люка-Вифериха, соответствующим паре (3,2).[61] :2088

Точки Вифериха[править | править вики-текст]

Пусть Kглобальное поле, т.е. числовое поле или поле функций одной переменной над конечным полем и пусть Eэллиптическая кривая. Если v – это неархимедова точка нормы q_v K и a\in K, где v(a)=0, то v(a^{q_v-1})\geqslant 1. v называется точкой Вифериха по базе a, если v(a^{q_v-1})> 1, эллиптической точкой Вифериха по базе P\in E, если N_v(P)\in E_2, и сильной эллиптической точкой Вифериха по базе P\in E, если n_v(P)\in E_2, где n_v – порядок P по модулю v и N_v дает количество рациональных точек (над полем вычетов v) редукции E на v.[62]:206

Замечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. 1 2 «The Prime Glossary: Wieferich prime», <http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WieferichPrime.html> 
  2. Israel Kleiner (2000), "«From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem»", Elem. Math. Т. 55: 21, doi:10.1007/PL00000079, <http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf> 
  3. Leonhard Euler (1736), "«Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio»", Novi Comm. Acad. Sci. Petropol. Т. 8: 33–37, <http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E054tr.pdf> 
  4. 1 2 Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), "«Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1 (mod pr", Math. Comp. Т. 74 (250): 927–936, doi:10.1090/S0025-5718-04-01666-7, <http://www.ams.org/journals/mcom/2005-74-250/S0025-5718-04-01666-7/S0025-5718-04-01666-7.pdf> 
  5. Bachmann, P. (1913). «Über den Rest von \tfrac{2^{p-1}-1}{p}\,\bmod\,p» (German). Journal für Mathematik 142 (1): 41–50.
  6. 1 2 Meissner, W. (1913), "«Über die Teilbarkeit von 2p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p=1093»", Sitzungsber. D. Königl. Preuss. Akad. D. Wiss. (Berlin) Т. Zweiter Halbband. Juli bis Dezember: 663–667 
  7. Haentzschel, E. (1926), "«Über die Kongruenz 21092 ≡ 1 (mod 10932", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Т. 34: 284, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN00212534X> 
  8. Haentzschel, E. (1925), "«Über die Kongruenz 21092 ≡ 1 (mod 10932", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung Т. 34: 184, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002127695> 
  9. Ribenboim, P. (1983), "«1093»", The Mathematical Intelligencer Т. 5 (2): 28–34, DOI 10.1007/BF03023623 
  10. Beeger, N. G. W. H. (1922), "«On a new case of the congruence 2p − 1 ≡ 1 (mod p2", Messenger of Mathematics Т. 51: 149–150, <http://www.archive.org/stream/messengerofmathe5051cambuoft#page/148/mode/2up> 
  11. Guy, R. K. (1965), "«A property of the prime 3511»", The Mathematical Gazette Т. 49 (367): 78–79, <http://www.jstor.org/stable/3614249> 
  12. Kravitz, S. (1960). «The Congruence 2p-1 ≡ 1 (mod p2) for p < 100,000». Math. Comp. 14: 378. DOI:10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7.
  13. Fröberg C. E. (1958). «Some Computations of Wilson and Fermat Remainders». Math. Comp. 12: 281. DOI:10.1090/S0025-5718-58-99270-6.
  14. Riesel, H. (1964). «Note on the Congruence ap-1 ≡ 1 (mod p2)». Math. Comp. 18: 149–150. DOI:10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6.
  15. Lehmer, D. H.. «On Fermat's quotient, base two». Math. Comp. 36 (153): 289–290. DOI:10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5.
  16. 1 2 Ribenboim, Paulo (2004), «Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde», New York: Springer, с. 237, ISBN 3-540-34283-4, <http://books.google.de/books?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA237> 
  17. 1 2 3 Dorais, F. G.; Klyve, D. (2011). «A Wieferich Prime Search Up to 6.7·1015». Journal of Integer Sequences 14 (9). Проверено 2011-10-23.
  18. PrimeGrid Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches
  19. PrimeGrid Wieferich prime search server statistics
  20. 1 2 Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl & Pomerance, Carl (1997), "«A search for Wieferich and Wilson primes»", Math. Comput. Т. 66 (217): 433–449, doi:10.1090/S0025-5718-97-00791-6, <http://gauss.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper111.pdf> 
  21. Wieferich, A. (1909), "«Zum letzten Fermat'schen Theorem»", Journal für die reine und angewandte Mathematik Т. 136 (136): 293–302, doi:10.1515/crll.1909.136.293, <http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002166968> 
  22. Coppersmith, D. (1990), "«Fermat's Last Theorem (Case I) and the Wieferich Criterion»", Math. Comp. (AMS) . — Т. 54 (190): 895–902, <http://www.ams.org/journals/mcom/1990-54-190/S0025-5718-1990-1010598-2/S0025-5718-1990-1010598-2.pdf> 
  23. Cikánek, P. (1994), "«A Special Extension of Wieferich's Criterion»", Math. Comp. (AMS) . — Т. 62 (206): 923–930, <http://www.ams.org/journals/mcom/1994-62-206/S0025-5718-1994-1216257-9/S0025-5718-1994-1216257-9.pdf> 
  24. 1 2 Dilcher, K. & Skula, L. (1995), "«A new criterion for the first case of Fermat's last theorem»", Math. Comp. (AMS) . — Т. 64 (209): 363–392, <http://www.ams.org/journals/mcom/1995-64-209/S0025-5718-1995-1248969-6/S0025-5718-1995-1248969-6.pdf> 
  25. Mirimanoff, D. (1910), "«Sur le dernier théorème de Fermat»", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences Т. 150: 293–206 
  26. 1 2 3 4 Granville, A. & Monagan, M. B. (1988), "«The First Case of Fermat's Last Theorem is true for all prime exponents up to 714,591,416,091,389»", Transactions of the American Mathematical Society Т. 306 (1): 329–359, DOI 10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5 
  27. Suzuki, Jiro (1994), "«On the generalized Wieferich criteria»", Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. Т. 70: 230–234, <http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195510946> 
  28. Charles, D. X. On Wieferich primes
  29. Silverman, J. H. (1988), "«Wieferich's criterion and the abc-conjecture»", Journal of Number Theory Т. 30 (2): 226–237, DOI 10.1016/0022-314X(88)90019-4 
  30. 1 2 DeKoninck, J.-M. & Doyon, N. (2007), "«On the set of Wieferich primes and of its complement»", Annales Univ. Sci. Budapest., Sect. Comp. Т. 27: 3–13, <http://ac.inf.elte.hu/Vol_027_2007/003.pdf> 
  31. Broughan, K. (2006), "«Relaxations of the ABC Conjecture using integer k 'th roots»", New Zealand J. Math. Т. 35 (2): 121–136, <http://www.math.waikato.ac.nz/~kab/papers/abc01.pdf> 
  32. Ribenboim P. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. — New York: Springer, 1979. — P. 154. — ISBN 0-387-90432-8.
  33. «Mersenne Primes: Conjectures and Unsolved Problems», <http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown> 
  34. Rotkiewicz, A. (1965). «Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n2∣2n-2» (French). Mat. Vesnik 2 (17): 78–80.
  35. Ribenboim, Paulo (1991), «The little book of big primes», New York: Springer, с. 64, ISBN 0-387-97508-X, <http://books.google.com/?id=zUCK7FT4xgAC&pg=PA64> 
  36. Bray, H. G. & Warren, L. J. (1967), "«On the square-freeness of Fermat and Mersenne numbers»", Pacific J. Math. Т. 22 (3): 563–564, <http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102992105> 
  37. Scott, R.; Styer, R. (April 2004). «On px-qy=c and related three term exponential Diophantine equations with prime bases». Journal of Number Theory (Elsevier) 105 (2): 212–234. DOI:10.1016/j.jnt.2003.11.008.
  38. Scott, R.; Styer, R. (2006). «On the generalized Pillai equation ±ax±by=c». Journal of Number Theory 118 (2): 236–265. DOI:10.1016/j.jnt.2005.09.001.
  39. Wells Johnson (1977), "«On the nonvanishing of Fermat quotients (mod p", J. Reine angew. Math. Т. 292: 196–200, <http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=resolveppn&PPN=GDZPPN002193698> 
  40. Dobeš, Jan & Kureš, Miroslav (2010), "«Search for Wieferich primes through the use of periodic binary strings»", Serdica Journal of Computing Т. 4: 293–300, <http://sci-gems.math.bas.bg/jspui/bitstream/10525/1595/1/sjc104-vol4-num3-2010.pdf> 
  41. 1 2 Kiss, E.; Sándor, J. (2004). «On a congruence by János Bolyai, connected with pseudoprimes». Mathematica Pannonica 15 (2): 283–288.
  42. Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", «The Little Book of Bigger Primes», New York: Springer-Verlag New York, Inc., с. 99, ISBN 0-387-20169-6 
  43. Pinch, R. G. E. (2000). «The Pseudoprimes up to 1013». Lecture Notes in Computer Science 1838: 459–473. DOI:10.1007/10722028_30.
  44. (2008) «Catalan numbers, primes and twin primes». Elemente der Mathematik 63 (4): 153–164. DOI:10.4171/EM/103.
  45. 1 2 Ehrlich, A. (1994), "«Cycles in Doubling Diagrams mod m»", The Fibonacci Quarterly Т. 32 (1): 74–78, <http://www.fq.math.ca/Scanned/32-1/ehrlich.pdf> 
  46. Byeon, D. (2006), "«Class numbers, Iwasawa invariants and modular forms»", Trends in Mathematics Т. 9 (1): 25–29, <http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999.pdf> 
  47. Jakubec, S. (1995), "«Connection between the Wieferich congruence and divisibility of h+»", Acta Arithmetica Т. 71 (1): 55–64, <http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7114.pdf> 
  48. Jakubec, S. (1998), "«On divisibility of the class number h+ of the real cyclotomic fields of prime degree l»", Mathematics of Computation Т. 67 (221): 369–398, <http://www.ams.org/journals/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00916-8/S0025-5718-98-00916-8.pdf> 
  49. 1 2 3 Garza, G. & Young, J. (2004), "«Wieferich Primes and Period Lengths for the Expansions of Fractions»", Math. Mag. Т. 77 (4): 314–319, DOI 10.2307/3219294 
  50. Martínez-Pérez, C.; Willems, W. (2006). «Is the Class of Cyclic Codes Asymptotically Good?». IEEE Transactions on information theory (IEEE) 52 (2): 696–700. DOI:10.1109/TIT.2005.862123.
  51. Stevens, W. H. (19 June 1995), «Periodicity for the Z/pr-homology of cyclic covers of knots and Z-homology circles», <https://www.math.lsu.edu/~gilmer/waynestevenspaper.pdf>. Проверено 29 сентября 2012. 
  52. Dickson, L. E. (1917), "«Fermat's Last Theorem and the Origin and Nature of the Theory of Algebraic Numbers»", Annals of Mathematics Т. 18 (4): 161–187, <http://www.jstor.org/stable/pdfplus/2007234> 
  53. Joshua Knauer; Jörg Richstein (2005), "«The continuing search for Wieferich primes»", Math. Comp. Т. 74 (251): 1559–1563, doi:10.1090/S0025-5718-05-01723-0, <http://www.ams.org/journals/mcom/2005-74-251/S0025-5718-05-01723-0/S0025-5718-05-01723-0.pdf> 
  54. About project Wieferich@Home
  55. PrimeGrid, Wieferich & near Wieferich primes p < 11e15
  56. Ribenboim, Paulo (2000), «My numbers, my friends: popular lectures on number theory», New York: Springer, сс. 213–229, ISBN 978-0-387-98911-2 
  57. Weisstein, Eric W. .html Double Wieferich Prime Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  58. Banks, W. D.; Luca, F. & Shparlinski, I. E. (2007), "«Estimates for Wieferich numbers»", The Ramanujan Journal (Springer) . — Т. 14 (3): 361–378, doi:10.1007/s11139-007-9030-z, <http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf> 
  59. Agoh, T.; Dilcher, K. & Skula, L. (1997), "«Fermat Quotients for Composite Moduli»", Journal of Number Theory Т. 66 (1): 29–50, DOI 10.1006/jnth.1997.2162 
  60. Müller, H. (2009). «{{{title}}}» (German). Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg (Mathematische Gesellschaft in Hamburg) 28: 121–130.
  61. McIntosh, R. J. & Roettger, E. L. (2007), "«A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes»", Mathematics of Computation (AMS) . — Т. 76 (260): 2087–2094, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2, <http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718-07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf> 
  62. Voloch, J. F. (2000), "«Elliptic Wieferich Primes»", Journal of Number Theory Т. 81: 205–209, DOI 10.1006/jnth.1999.2471 

Дальнейшее чтение[править | править вики-текст]

Внешние ссылки[править | править вики-текст]