Великая теорема Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики; её условие формулируется на понятийном уровне среднего общего образования, а доказательство теоремы искали многие математики в течение долгого периода времени (больше трёхсот лет). Окончательно доказана в 1994-ом году Уайлсом.

Содержание

1 Формулировка
2 История
3 «Ферматисты»
4 См. также
5 Литература
- 5.1 На русском
- 5.2 На английском

[править] Формулировка

Теорема утверждает, что:

Для любого натурального $n > 2$ уравнение

$a^n+b^n=c^n\,\!$

не имеет натуральных решений $a$ , $b$ и $c$ .

[править] История

Теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 на полях книги «Арифметика» Диофанта с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было здесь поместить:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Оригинальный текст (лат.)

Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere; cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.

Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство частного случая для $n = 4$ , что добавляет сомнений в том, что у него было доказательство общего случая, иначе он непременно упомянул бы о нём в этой статье.

Эйлер в 1770 доказал теорему для случая $n = 3$ , Дирихле и Лежандр в 1825 — для $n = 5$ . Свой вклад в доказательство внесли Ламе, Софи Жермен, Куммер и многие другие выдающиеся математики. Усилия по доказательству теоремы привели к получению многих результатов современной теории чисел. Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству неверных доказательств.

Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983, следует, что уравнение $a n + b n = c n$ при $n > 3$ может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Последний, но самый важный, шаг в доказательстве теоремы был сделан в сентябре 1994 года Уайлсом. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics». Доказательство основано на том, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. ^[1]

[править] «Ферматисты»

Простота формулировки теоремы Ферма и сложность (130 страниц) единственного известного доказательства вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое доказательство. По состоянию на текущий момент (апрель 2008) успешных попыток такого рода не известно. Отдельные авторы даже добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, например [1] или [2].